Décrire un mouvement — Cinématique du point : position, trajectoire, vitesse, accélération

Vecteurs et équations horaires

Vecteurs du mouvement

Trois vecteurs clés décrivent la cinématique d'un point $M$ en fonction du temps $t$.

• Position $\vec{OM}(t)$: coordonnées $x(t)$, $y(t)$ et $z(t)$ du point dans l'espace.
• Vitesse $\vec{v}(t)$: dérivée temporelle de la position, $\vec{v} = \frac{d\vec{OM}}{dt}$ (en $m/s$).
• Accélération $\vec{a}(t)$: dérivée temporelle de la vitesse, $\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt}$ (en $m/s^2$).

Exemple de dérivation

Beispiel: Soit $y(t) = -4,9t^2 + 4,0t$. $v_y(t) = \frac{dy}{dt} = -9,8t + 4,0$. $a_y(t) = \frac{dv_y}{dt} = -9,8$.

💡 Attention : Pour obtenir la norme de la vitesse $v$, on calcule la racine de la somme des coordonnées au carré : $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}$.

Méthodes et repère de Frenet

Tracé et calculs discrets

Sur un enregistrement de positions espacées d'une durée $\Delta t$, on estime les grandeurs physiques locales.

• Vitesse moyenne : estimée par $v_2 = \frac{M_1M_3}{2\Delta t}$ entre deux positions proches.
• Accélération moyenne : estimée graphiquement par $\vec{a} = \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}$.

Repère de Frenet

Adapté aux trajectoires circulaires de rayon $R$, avec des axes tangentiel $\vec{u}_t$ et normal $\vec{u}_n$.

• Accélération tangentielle : $a_t = \frac{dv}{dt}$, liée à la variation de la valeur de la vitesse.
• Accélération normale : $a_n = \frac{v^2}{R}$, dirigée vers le centre, liée au changement de direction.

💡 Astuce : Dans un mouvement circulaire uniforme, la vitesse est constante donc $a_t = 0$, l'accélération est purement centripète : $a = a_n = \frac{v^2}{R}$.