Démonstration : champ électrique E et 2e loi de Newton (pour le bac)

Force et équations horaires de vitesse

Force et champ électrique

Le mouvement est dicté par la force électrostatique dans un champ uniforme $\vec{E}$ orienté de la plaque positive vers la plaque négative.

• Force électrique : $\vec{F}_e = q\vec{E}$ avec $q$ la charge en Coulombs ($C$).
• Champ uniforme : valeur $E = \frac{U}{d}$ en $V\cdot m^{-1}$.

Accélération et vitesse

En appliquant la deuxième loi de Newton ($\sum \vec{F} = m\vec{a}$), on détermine le mouvement par intégration successive.

• Accélération : $\vec{a} = \frac{q\vec{E}}{m}$. Pour un électron ($q = -e$) : $a_x = 0$ et $a_y = \frac{eE}{m}$.
• Vitesse : par intégration avec vitesse initiale $\vec{V}_0$ horizontale : $v_x(t) = V_0$ et $v_y(t) = \frac{eE}{m}t$.

💡 Attention : Le vecteur champ $\vec{E}$ est toujours dirigé vers les potentiels décroissants, donc de la plaque $\oplus$ vers la plaque $\ominus$.

Trajectoire et cas du proton

Équations de position et trajectoire

En intégrant la vitesse, on trouve la position du système, puis sa trajectoire en éliminant le temps $t$.

• Position : $x(t) = V_0 t$ et $y(t) = \frac{eE}{2m}t^2$ (pour un électron avec plaque $\oplus$ en haut).
• Trajectoire : équation de parabole $y(x) = \frac{eE}{2m V_0^2}x^2$.

Proton accéléré sans vitesse initiale

Un proton ($q = +e$) lâché sans vitesse initiale est accéléré de la plaque $\oplus$ vers la plaque $\ominus$.

• Vitesse finale : $v = \sqrt{\frac{2eU}{m}}$.

Exemple : Pour calculer $v$ avec $U = 100\text{ V}$, $m = 1,67 \times 10^{-27}\text{ kg}$ et $e = 1,60 \times 10^{-19}\text{ C}$ :

• $\frac{2eU}{m} = \frac{2 \times 1,60 \times 10^{-19} \times 100}{1,67 \times 10^{-27}} \approx 1,91 \times 10^{10}$
• $v = \sqrt{1,91 \times 10^{10}} \approx 1,38 \times 10^5\text{ m/s}$

💡 Astuce : Pour trouver l'équation de la trajectoire, exprime toujours $t$ en fonction de $x$ ($t = \frac{x}{V_0}$) puis remplace $t$ dans l'expression de $y$.