Mouvement : vecteurs vitesse et accélération (repère orthonormé et de Frenet)

Vecteurs et mouvement rectiligne

Vecteurs vitesse et accélération

• Vitesse $\vec{v}(t)$ : dérivée de la position, $\vec{v}(t) = \frac{d\vec{OM}}{dt}$. Elle est toujours tangente à la trajectoire.
• Accélération $\vec{a}(t)$ : dérivée de la vitesse, $\vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}}{dt}$.
• Norme : calculée via $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$.

Types de mouvements rectilignes

• Uniforme : vitesse constante, donc $\vec{a} = \vec{0}$.
• Accéléré : $\vec{a}$ et $\vec{v}$ sont dans le même sens.
• Ralenti : $\vec{a}$ et $\vec{v}$ sont de sens opposés.

💡 Astuce : Pour tracer le vecteur vitesse au point $M_i$, utilise la formule approchée $\vec{v}_i \approx \frac{\vec{M_{i-1}M_{i+1}}}{2\Delta t}$.

Mouvement circulaire et repère de Frenet

Le repère de Frenet

Le repère mobile $(\vec{u}_t, \vec{u}_n)$ est centré sur le système en mouvement.

• Vecteur tangentiel $\vec{u}_t$ : dans le sens du mouvement, tangent à la trajectoire.
• Vecteur normal $\vec{u}_n$ : perpendiculaire à la trajectoire, dirigé vers le centre du cercle.

Accélération dans le repère de Frenet

• Formule : $\vec{a} = a_t\vec{u}_t + a_n\vec{u}_n = \frac{dv}{dt}\vec{u}_t + \frac{v^2}{R}\vec{u}_n$.
• Mouvement uniforme : si $v$ est constante, alors $a_t = 0$ et l'accélération est purement centripète, soit $a = \frac{v^2}{R}$.

💡 Astuce : Dans un mouvement circulaire uniforme, l'accélération n'est pas nulle car la direction du vecteur vitesse change constamment.