Extremums locaux d'une fonction
Cette section se concentre sur les extremums d'une fonction, un concept crucial en analyse mathématique. Elle introduit la notion d'extremum local et présente une condition suffisante pour leur existence.
Définition: Un extremum local est un point où la fonction atteint un maximum ou un minimum local. Il s'agit d'un point critique où la fonction change de comportement.
Highlight: La condition suffisante d'existence d'un extremum stipule que si la dérivée s'annule et change de signe en un point, alors la fonction possède un extremum local en ce point.
Exemple: L'exercice propose d'étudier la fonction fx = x³ - 2x² + x - 1 pour démontrer l'existence d'extremums locaux et déterminer leur nature.
La résolution implique le calcul de la dérivée, l'étude de son signe, et l'utilisation du théorème sur la condition suffisante d'extremum. L'analyse révèle deux extremums locaux : un maximum local en x = 1/3 et un minimum local en x = 1.
Vocabulary:
- Extremum : Point où une fonction atteint sa valeur maximale ou minimale sur un intervalle donné.
- Maximum local : Point où la fonction atteint une valeur supérieure à celles des points voisins.
- Minimum local : Point où la fonction atteint une valeur inférieure à celles des points voisins.
Cette approche illustre l'application des dérivées dans la vie réelle, notamment pour l'optimisation et l'analyse de phénomènes variables.
