Mathématiques

Fondements et Systèmes Mathématiques

analyse mathématique

304

•

26 nov. 2025

•

16 pages

Révision complète pour le bac de maths

Pénélope Philipon

@pnlopephilipon_hnqj

Ces pages couvrent les concepts essentiels de géométrie dans l'espace,... Affiche plus

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$# BILAN : Orthogonalité et distances dans l'espace. ## Produit scalaire de deux vecteurs de l'espace $AB \cdot AC = ...$ $AB \times AC \t$

Orthogonalité et distances dans l'espace

Tu vas voir, travailler dans l'espace n'est pas si compliqué une fois qu'on maîtrise les outils de base ! Le produit scalaire reste ton meilleur allié pour résoudre la plupart des problèmes.

Pour calculer $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$ , tu as quatre méthodes au choix : la formule avec l'angle et les longueurs $AB \times AC \times \cos(\widehat{BAC})$ , la projection orthogonale, la formule avec les normes $\frac{1}{2}(||\vec{AB}||^2 + ||\vec{AC}||^2 - ||\vec{BC}||^2)$ , ou simplement $xx' + yy' + zz'$ avec les coordonnées.

L'orthogonalité se traduit toujours par un produit scalaire nul. Deux droites sont orthogonales si leurs vecteurs directeurs le sont, une droite est orthogonale à un plan si son vecteur directeur est orthogonal à tous les vecteurs du plan.

Astuce pratique : Pour les distances, pense toujours au projeté orthogonal - c'est le point le plus proche !

$# BILAN : Orthogonalité et distances dans l'espace. ## Produit scalaire de deux vecteurs de l'espace $AB \cdot AC = ...$ $AB \times AC \t$

Représentations paramétriques et équations cartésiennes

Ici, on passe aux équations concrètes pour décrire droites et plans dans l'espace. C'est plus calculatoire mais très utile pour résoudre des problèmes précis !

Une droite se décrit avec une représentation paramétrique : tu fixes un point de passage et un vecteur directeur, puis tu obtiens tous les points en faisant varier le paramètre $t$ . Un plan a une équation cartésienne du type $ax + by + cz + k = 0$ où $\vec{n}(a,b,c)$ est le vecteur normal.

Pour trouver le projeté orthogonal d'un point sur une droite ou un plan, tu cherches l'intersection entre la droite/le plan et la perpendiculaire passant par ton point. C'est un système d'équations classique à résoudre.

Méthode clé : Deux plans sont parallèles quand leurs vecteurs normaux sont colinéaires !

$# BILAN : Orthogonalité et distances dans l'espace. ## Produit scalaire de deux vecteurs de l'espace $AB \cdot AC = ...$ $AB \times AC \t$

Les Suites

Les suites, c'est l'art de prédire le comportement d'une séquence de nombres quand $n$ devient très grand. Tu vas développer une vraie intuition mathématique !

Le raisonnement par récurrence fonctionne en deux étapes : vérifier que ta propriété est vraie au rang initial, puis montrer qu'elle se transmet de $n$ à $n+1$ . Une suite peut converger vers une limite $\ell$ , diverger vers $\pm\infty$ , ou ne pas avoir de limite du tout.

Le théorème de la limite monotone est super pratique : toute suite croissante et majorée converge obligatoirement. Pour calculer les limites, tu utilises les opérations classiques ou les théorèmes de comparaison quand ça coinçe.

À retenir : Les suites géométriques $q^n$ convergent vers 0 si $|q| < 1$ , divergent si $|q| > 1$ !

$# BILAN : Orthogonalité et distances dans l'espace. ## Produit scalaire de deux vecteurs de l'espace $AB \cdot AC = ...$ $AB \times AC \t$

Limites de Fonctions

Étudier les limites de fonctions, c'est comprendre comment elles se comportent aux "extrémités" de leur domaine. Ça donne des infos cruciales sur leur allure graphique !

Les asymptotes apparaissent naturellement : horizontale quand la limite en $\pm\infty$ existe, verticale quand la fonction tend vers $\pm\infty$ en un point. Tu peux calculer la plupart des limites avec les règles opératoires sur les sommes, produits et quotients.

Quand les règles classiques ne marchent plus (formes indéterminées), tu utilises les théorèmes de comparaison : encadrement, minoration, majoration. La croissance comparée te dit que $e^x$ croît plus vite que n'importe quelle puissance de $x$ .

Piège à éviter : Attention aux formes indéterminées comme $\infty - \infty$ ou $\frac{0}{0}$ !

$# BILAN : Orthogonalité et distances dans l'espace. ## Produit scalaire de deux vecteurs de l'espace $AB \cdot AC = ...$ $AB \times AC \t$

Géométrie vectorielle dans l'espace

L'espace à trois dimensions suit les mêmes règles que le plan, mais avec une coordonnée supplémentaire. Une fois que tu maîtrises les vecteurs, tout devient logique !

Les vecteurs colinéaires sont proportionnels, les vecteurs coplanaires appartiennent au même plan. Trois points sont alignés si leurs vecteurs sont colinéaires, quatre points sont coplanaires si leurs vecteurs le sont aussi.

Une droite se définit par un point et un vecteur directeur, un plan par un point et deux vecteurs directeurs non colinéaires. Les positions relatives (parallèle, sécant) dépendent des relations entre ces vecteurs.

Formule essentielle : Pour le milieu $I$ de $[AB]$ : $I\left(\frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2}, \frac{z_A+z_B}{2}\right)$ !

$# BILAN : Orthogonalité et distances dans l'espace. ## Produit scalaire de deux vecteurs de l'espace $AB \cdot AC = ...$ $AB \times AC \t$

Combinatoire et dénombrement

Compter intelligemment, c'est la base de la combinatoire ! Tu vas apprendre à dénombrer sans te tromper même dans les situations complexes.

Les principes additif et multiplicatif sont tes outils de base : tu additionnes quand les cas sont disjoints, tu multiplies pour les choix successifs. Les arrangements tiennent compte de l'ordre (comme un podium), les combinaisons s'en fichent (comme une équipe).

La formule des arrangements est $\frac{n!}{(n-p)!}$ , celle des combinaisons est $\binom{n}{p} = \frac{n!}{p!(n-p)!}$ . Le triangle de Pascal te donne les coefficients binomiaux et vérifie $\binom{n}{p} = \binom{n-1}{p-1} + \binom{n-1}{p}$ .

Astuce mnémotechnique : Arrangements = ordre important, Combinaisons = ordre indifférent !

$# BILAN : Orthogonalité et distances dans l'espace. ## Produit scalaire de deux vecteurs de l'espace $AB \cdot AC = ...$ $AB \times AC \t$

Concentration, loi des grands nombres

Voici l'un des résultats les plus fascinants des maths : plus tu répètes une expérience, plus les moyennes se stabilisent ! C'est le fondement théorique des statistiques.

La moyenne d'un échantillon $M_n$ a la même espérance que la variable initiale $X$ , mais sa variance diminue en $\frac{1}{n}$ . Plus l'échantillon est grand, plus les valeurs se concentrent autour de la moyenne théorique.

Les inégalités probabilistes quantifient cette concentration : Markov, Bienaymé-Tchebychev et l'inégalité de concentration. La loi des grands nombres dit que $P(|M_n - E(X)| \geq \delta) \to 0$ quand $n \to \infty$ .

Conséquence pratique : C'est pourquoi les sondages sont plus fiables avec de gros échantillons !

$# BILAN : Orthogonalité et distances dans l'espace. ## Produit scalaire de deux vecteurs de l'espace $AB \cdot AC = ...$ $AB \times AC \t$

Python

Python est devenu incontournable en maths ! Maîtriser ses bases te permettra de simuler, calculer et visualiser tes résultats.

Les variables stockent différents types : entiers, flottants, chaînes, booléens. Les listes se manipulent avec append() pour ajouter, l'indexation pour modifier. Les tests utilisent if/else avec des conditions booléennes.

Les boucles for parcourent un nombre fixe d'itérations ou une liste, while continue tant qu'une condition est vraie. Les fonctions structurent ton code avec def et return. Les modules importés donnent accès aux fonctions mathématiques et graphiques.

Conseil pratique : Utilise toujours des noms de variables explicites pour relire ton code facilement !

$# BILAN : Orthogonalité et distances dans l'espace. ## Produit scalaire de deux vecteurs de l'espace $AB \cdot AC = ...$ $AB \times AC \t$

Sommes de variables aléatoires

Additionner des variables aléatoires suit des règles précises qui simplifient énormément les calculs. C'est particulièrement utile pour modéliser des phénomènes répétés !

La loi binomiale modélise la somme de $n$ variables de Bernoulli indépendantes de même paramètre $p$ . Si tu additionnes deux binomiales de même paramètre $p$ , tu obtiens encore une binomiale avec les paramètres qui s'additionnent.

Pour les indicateurs, l'espérance est linéaire : $E(X+Y) = E(X) + E(Y)$ toujours, $V(X+Y) = V(X) + V(Y)$ seulement si $X$ et $Y$ sont indépendantes. La loi binomiale $(n,p)$ a pour espérance $np$ et variance $np(1-p)$ .

Application concrète : Le nombre de piles en 100 lancers d'une pièce biaisée suit une loi binomiale !

$# BILAN : Orthogonalité et distances dans l'espace. ## Produit scalaire de deux vecteurs de l'espace $AB \cdot AC = ...$ $AB \times AC \t$

Succession d'épreuves indépendantes

Les expériences répétées forment la base de nombreux modèles probabilistes. Comprendre leur structure te permettra de résoudre des problèmes complexes !

Dans une succession d'épreuves indépendantes, chaque étape a ses propres probabilités qui ne dépendent pas des résultats précédents. La probabilité d'une séquence particulière s'obtient en multipliant les probabilités individuelles.

Une épreuve de Bernoulli n'a que deux issues : succès (probabilité $p$) et échec $probabilité $1-p$$ . La variable associée vaut 1 pour le succès, 0 pour l'échec. Répéter $n$ fois donne une loi binomiale de paramètres $(n,p)$ .

Formule clé : $P(\text{k succès en n épreuves}) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ !

Si on te demande...

Qu'est-ce que le compagnon IA de Knowunity ?

Notre compagnon IA est spécialement conçu pour répondre aux besoins des étudiants. Sur la base des millions d'éléments de contenu que nous avons sur la plateforme, nous pouvons fournir des réponses vraiment significatives et pertinentes aux étudiants. Mais il ne s'agit pas seulement de réponses, le compagnon a encore plus pour but de guider les élèves dans leurs défis d'apprentissage quotidiens, avec des plans d'étude personnalisés, des quiz ou des éléments de contenu dans le chat et une personnalisation à 100% basée sur les compétences et les développements de l'étudiant.

Où puis-je télécharger l'application Knowunity ?

Tu peux télécharger l'application dans Google Play Store et dans l'App Store d'Apple.

L'application est-elle vraiment gratuite ?

Oui, tu as un accès entièrement gratuit à tous les contenus de l'appli, tu peux chatter ou suivre les créateurs à tout moment. De plus, nous proposons Knowunity Premium, qui te permet de réviser sans limites!

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App Store

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L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

Stefan S

utilisateur iOS

Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

Samantha Klich

utilisatrice Android

Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

Anna

utilisatrice iOS

Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

Thomas R

utilisateur d' Android

super application pour réviser je révise tout les soirs

Esteban M

utilisateur d'Android

Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

utilisateur d'Android

L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

utilisateur Android

Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

Greenlight Bonnie

utilisateur Android

PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰

Khady

utilisatrice d'Android

Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

utilisatrice iOS

C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

Raoul

utilisateur IOS

Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands

Ella

utilisatrice iOS

Stefan S

utilisateur iOS

Samantha Klich

utilisatrice Android

Anna

utilisatrice iOS

Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

Thomas R

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super application pour réviser je révise tout les soirs

Esteban M

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Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

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Sudenaz Ocak

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Pénélope Philipon

@pnlopephilipon_hnqj

Ces pages couvrent les concepts essentiels de géométrie dans l'espace, les suites, les limites et les probabilités que tu dois maîtriser en Terminale. On va découvrir comment manipuler les vecteurs dans l'espace 3D, analyser le comportement des suites et fonctions,... Affiche plus

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