Dérivations

Légende alternative :

f __ — reunion d'intervalles inclus admet nombre derive on associe le nombre dérivation • Tableau qui donne la dérivée de réference: = utv f'(x)= La est dérivable sur I = u'v + uv' sur -D • f'(x) sur I our leur ensemble de definition. 4² u'(x) № (x) - u(x) N'(x) [v(x)]2 une · Somation definie Df at dérivable fonction & définie Dy ai Bio mer I •Pau taut x € Dy'. g'(x)= of (anal) + b) sur T T T III Applications III 1. Aplication . · Sit 1) Sil existe f (x) > 0 ati » Soit Df. Soit l un real. real a>0 tal que ] -^; 0 [ C Df, sipanr tout & €]-x; 0 [ i lim f (x) = lalors 120 x-00 x <0 2) S'il existe un nint a>0 tel que ]0; ^[ CDf, in pour tout ~ €]0; ^ [ f(x)20 2 et si lim f(x) = I alors ISO! I une fonction définie 4) Si l'étude des variations fonction dérivable f sur un 1) Si f est croissante sur I alors 2) Si est décroissante sur I alors X-40 x70 une x un 'L' une exemple impla O Aver mer ser I sauf pover est strictement décroissante sur I. a bur of. 2) On dit que of admet est décroissante sover I 3) Sig' > 0 sur I sauf pour un nombre fini de valeurs dans I alors eroissante I lover fonction définie even Df L'une Soit I une fonction derivable un intervallo I ( non reduit un im point) sur e) Si l'oner I alors of est croissante I 2) Si f₁ < 0 mur I alors pour intervalle I un un maximum EDf, f(x) ≤ f(a). On dit sur Dp. 3). Om dit que of and mat minimum un € Df, f(x) > f(a). Om dit alors en a sour pour III. & Application à la recherche des entremuons locaux d'une D ·Sait f 1) On dit que f ad met un redent non tout x ( I, f'(x) > 0. _€£₁g'(x) <0. tout s fonction sur minimum en a que que membre Лого extremum un a fini sur que f(a) Df f(a) est la valeur → Soit & la fonction définie. note (eg) la courbe représentative dans en our Df er en your en un or een Dg. 4) Om dit ouvert I que of and mat concernant un maximum local. {a} tel ad mette and met local en of intervalle ouvert en I concernant {a} tel. 5) On dit que of ad un maximum € Dg que f admatte Indf. in point fonction um un de valeurs dans I ex: - Df si f ad met D →→X → fust a € Df at in est estrictament ~ E Df s'il existe J-1; -0,9] -{-1} toet pour minimale de four et tout € Df est le valour maximale def pour un alova of un maximum intervalle INDS minimum en a sur s'il existe un su - [56] par f(x) = 1 x ²³ _ — — x² - 3x + 2. repère a thogonal (0; +²J). un maximum en 1. 2. 3. f en xo I admet en admet I x ₁ admet D -5 4. of admet un un un - 2 qui est auss f x₂ = 3 qui est aussi globale un qui x3 = 6 qui est aussi globale sur minimum local est aussi globale maximus local globale minimun local on Sait f Sait xo x Imaximum local en x admet Plus précisement: Si il existe una un u ul un Fonctions Composée vou réel no tel sur ] xo; xo + ^ [₁ alors of admet maximum local Si il existe réel a tel fonction definie point intérieur à extremum local en xo. un un un et v Xo = -5 ] xo xo + ^ [₁ alors off admet minimum brer DN A N x1 = -2 dérivabla Df et Df'. Sif' s'annule en R u (x) →→ ~(~(x)) (NOM)(x) = N(~(x)) une intervalle deux fonctions définies respectivement I E Du t 4 sur -]₂ que fo en x0 local १२ Sot I Soit Du et Do. que pour tout x EI ~ (x) €D~ (~ (I) € D₂). La fonction de & définie par f(x) = a (u(x)) est alors definie Om suppose que saur I Do note f vou I en xo- sur xo- r; 20 X2=3 reunion d'intervalles. I Df. changeant de signa en xo L I " I I B (eg) 20 -o [₁ f (x₁) = xo[ f (x0) = 0 et f' <0 " 23=6 alors f 10 at 1.30 Tableau de signes 2 on f(x) x 1(c) O O a en 36 donc signe de a resumé le 3-√3 3-√3 f(3-√3) (descriptiones) tableau de erigne suivant : + signe en a 3 le tableau 3 36 de CC → if mum sur (1) f est décroissante un est dérivable [0; 3-√3 [ dome décroissante 2) of est sur sant bur sur sur dérivable ·[3-√3;3[ done variation suivant: J (0) > f (x) > f (3-√3) ²) f croissante f(3-13) ≤ f(x) ≤ f(s) [0; 3-√3]. Sun sur fur J (3-√3;3]. - [0; 3-√3] at g'<0 est strictament [0; 3-√3] done si [3-√3;3] at f'>0 ¥x € [0₁3], f(x) > f (3-√3) donc f possède un mini- 3-√3 [0; 3] La valeur minimale de fast of (3-√5). strictement crois- 0<x<3-√3 alors. [3-√3; 3] done si 3-√3 < x <3 alors