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Les vecteurs
11/10/2022
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MATHEM Les Vecteurs! DES DEFINITION-VECTEUR ● On considère la translation qui transforme un point M en un point M' distinct de M. Le vecteur associé à la translation se représente par une flèche : M Ce vecteur se note MM, on peut aussi le noter par une seule lettre comme par exemple ● La translation qui tranforme un point M en lui même laisse les figures inchangées, le vecteur associé à cette translation est le vecteur nul noté On ne peut pas le représenter par une flèche ● DEFINITION - CARACTERISTIQUE D'UN VECTEUR On considère la translation qui transforme un point M en un point M' distinct de M. Le vecteur associé à la translation se représente par une flèche : M' M' <ت M Ce vecteur est caractérisé par -sa a direction («< inclinaison » de la droite (MM'); -son sens (de M vers M'); -sa longueur appelée norme, notée ||MM||. Le vecteur nul est de norme 0, il n'a ni direction ni sens DEFINITION-VECTEURS EGAUX On dit que deux vecteurs sont égaux s'ils définissent la même translation. ● En particulier deux vecteurs non nuls sont égaux si et seulement si ils ont la même direction, le même sens et la même norme EXEMPLE Quels sont les vecteurs égaux au vecteur u sur la figure ci-dessous W = PROPRIETE-VECTEURS EGAUX ET PARALLELOGRAMME Soient A, B, C et D quatre points distincts du plan, -> • AB...
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CD si et seulement si ABDC est un parallelogramme. • Les vecteurs u et w sont des vecteurs égaux car ils ont : -même direction; -même sens; • On écrit alors: W = P² + V -> -même norme. • Les vecteurs et ne sont pas égaux, car ils n'ont pas le même sens. -> • Les vecteurs et ne sont pas égaux, car ils n'ont pas la même direction. • Les vecteurs et s ne sont pas égaux, car ils n'ont pas la même norme A <- DEFINITION-SOMMES DE VECREURS, RELATION DE CHASLES La somme de deux vecteurs et Vest le vecteur w associé à la translation résultant de l'enchaînement des translations de vecteur et ude vecteur B C B -> On peut également écrire AC=AB + BC, c'est la relation de Chasles EXEMPLE Soit ABC un triangle. ● ● ● 1. Placer le point D tel 1. 2. Placer le point E tel 3. Placer le point F tel que on ● D le que B que A -> -> -> BD = CA + AB. -> -> BE=CA+CB. BF²=CB + AB² C DEFINITION-VECTEUR OPPOSE L'opposé d'un vecteur u = 0 est le vecteur de même direction, de même norme et de # sens contraire, note -> -> L'opposé de AB est le vecteur -AB = BA. L'opposé de esto 3. -u E F -> AB+(-BA)=AB + BA=AA = 0 On retiendra que la somme d'un vecteur et de son opposé donne le vecteur nul. B 2) Pour soustraire un vecteur, on ajoute son opposé par exemple : -> -> -> -> -> -> BC+-AB=BC+ (-AB) = BC + BA REMARQUES IMPORTANTES 1) Enchaîné la translation de vecteur AB et de son opposé béa revient à faire la translation de vecteur nul. A DEFINITION-VECTEUR COLINEAI Lorsque deux vecteurs non nul ont la même direction, on dit qu'ils sont colinéaires. Le vecteur nul et colinéaires à n'importe quel vecteur. C REMARQUE • Des vecteurs non nul colinéaires ont la même direction mais pas forcément le même sens ni la même EXEMPLE ● Sur la figure ci-dessous tous les vecteurs sont colinéaires (ils ont la même direction): normes. ● EXEMPLE C DEFINITION - PRODUIT D'UN VECTEUR PAR UN NOMBRE REEL Soit un vecteur vet un nombre réel k=0. Le vecteur k va la même direction que le vecteur ● -> Sik< 0 k vest Exprimer chacun des vecteurs a, ,b,c et d comme une somme en utilisant le vecteur u. de même sens que vet sa longueur est k fois celle de ● Si k < 0 k v'est de sens opposé à vèt sa longueur est -k fois celle de Lorsque k = 0 et / ou alors k fl u 1) a=u²+u+u+u=47² 2) b²=u+u=2u² 3) c²=-u+ + (-u) + (-u) + (-u) = 4 u 4) d²=-u²+ (-u) + (-u) = 4u² (1) 2²- 1 x ²² X 2) b²= 1 x ²² 2 3) c= -1xa² 4) d²=-3x a² PROPRIETÉ- CARACTERISATION DES VECTEURS COLINEAIRES ● Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si il est possible d'écrire l'un des produit de l'autre par un nombre réel vecteur comme