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Les vecteurs

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MATHEM
Les Vecteurs! DES
DEFINITION-VECTEUR
●
On considère la translation qui transforme un point M en un point M' distinct de M.
Le vecteur
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On considère la translation qui transforme un point M en un point M' distinct de M.
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On considère la translation qui transforme un point M en un point M' distinct de M.
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On considère la translation qui transforme un point M en un point M' distinct de M.
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Légende alternative :

CD si et seulement si ABDC est un parallelogramme. • Les vecteurs u et w sont des vecteurs égaux car ils ont : -même direction; -même sens; • On écrit alors: W = P² + V -> -même norme. • Les vecteurs et ne sont pas égaux, car ils n'ont pas le même sens. -> • Les vecteurs et ne sont pas égaux, car ils n'ont pas la même direction. • Les vecteurs et s ne sont pas égaux, car ils n'ont pas la même norme A <- DEFINITION-SOMMES DE VECREURS, RELATION DE CHASLES La somme de deux vecteurs et Vest le vecteur w associé à la translation résultant de l'enchaînement des translations de vecteur et ude vecteur B C B -> On peut également écrire AC=AB + BC, c'est la relation de Chasles EXEMPLE Soit ABC un triangle. ● ● ● 1. Placer le point D tel 1. 2. Placer le point E tel 3. Placer le point F tel que on ● D le que B que A -> -> -> BD = CA + AB. -> -> BE=CA+CB. BF²=CB + AB² C DEFINITION-VECTEUR OPPOSE L'opposé d'un vecteur u = 0 est le vecteur de même direction, de même norme et de # sens contraire, note -> -> L'opposé de AB est le vecteur -AB = BA. L'opposé de esto 3. -u E F -> AB+(-BA)=AB + BA=AA = 0 On retiendra que la somme d'un vecteur et de son opposé donne le vecteur nul. B 2) Pour soustraire un vecteur, on ajoute son opposé par exemple : -> -> -> -> -> -> BC+-AB=BC+ (-AB) = BC + BA REMARQUES IMPORTANTES 1) Enchaîné la translation de vecteur AB et de son opposé béa revient à faire la translation de vecteur nul. A DEFINITION-VECTEUR COLINEAI Lorsque deux vecteurs non nul ont la même direction, on dit qu'ils sont colinéaires. Le vecteur nul et colinéaires à n'importe quel vecteur. C REMARQUE • Des vecteurs non nul colinéaires ont la même direction mais pas forcément le même sens ni la même EXEMPLE ● Sur la figure ci-dessous tous les vecteurs sont colinéaires (ils ont la même direction): normes. ● EXEMPLE C DEFINITION - PRODUIT D'UN VECTEUR PAR UN NOMBRE REEL Soit un vecteur vet un nombre réel k=0. Le vecteur k va la même direction que le vecteur ● -> Sik< 0 k vest Exprimer chacun des vecteurs a, ,b,c et d comme une somme en utilisant le vecteur u. de même sens que vet sa longueur est k fois celle de ● Si k < 0 k v'est de sens opposé à vèt sa longueur est -k fois celle de Lorsque k = 0 et / ou alors k fl u 1) a=u²+u+u+u=47² 2) b²=u+u=2u² 3) c²=-u+ + (-u) + (-u) + (-u) = 4 u 4) d²=-u²+ (-u) + (-u) = 4u² (1) 2²- 1 x ²² X 2) b²= 1 x ²² 2 3) c= -1xa² 4) d²=-3x a² PROPRIETÉ- CARACTERISATION DES VECTEURS COLINEAIRES ● Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si il est possible d'écrire l'un des produit de l'autre par un nombre réel vecteur comme