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Résoudre et Comprendre les Équations du Second Degré en Ligne

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Clément GROSPERRIN

23/11/2022

Maths

MATHÉMATIQUES - Équations et inéquations du 2nd degré

Mathématiques

Techniques de Factorisation des Polynômes

Factorisation des équations quadratiques

127

•

23 nov. 2022

•

2 pages

Résoudre et Comprendre les Équations du Second Degré en Ligne

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Clément GROSPERRIN

@clement_gpn

Le document explique les concepts clés des solutions equation second... Affiche plus

MATHEMATIQUES Equations et inequations du 2nd degré Definitions! brnome equation du second degré à une inconnue +bx+c ax racine d'un polynom

Signe du polynôme et propriétés des racines

Cette section se concentre sur l'analyse du signe d'un polynôme du second degré et les propriétés de ses racines.

Le théorème sur le signe du polynôme est énoncé et démontré :

  • Si Δ > 0, le polynôme change de signe aux racines x₁ et x₂.
  • Si Δ = 0, le polynôme garde un signe constant sauf en x₀ où il s'annule.
  • Si Δ < 0, le polynôme garde un signe constant, celui de a.

Example: Pour Pxx = x² - 4x + 3, Δ = 4 > 0. Le polynôme est positif pour x < 1 et x > 3, et négatif pour 1 < x < 3.

La démonstration de ce théorème est fournie, utilisant la forme factorisée du polynôme pour analyser son signe.

Highlight: L'analyse du signe d'un polynôme est cruciale pour résoudre des inéquations du second degré.

Enfin, le document présente des propriétés importantes concernant la somme et le produit des racines d'une équation du second degré :

  1. Si x₁ et x₂ sont les racines de ax² + bx + c = 0, alors :

    • Somme des racines : S = x₁ + x₂ = -b/a
    • Produit des racines : P = x₁x₂ = c/a

  2. Réciproquement, si deux réels ont pour somme S et pour produit P, ils sont solutions de l'équation x² - Sx + P = 0.

Quote: "Si deux réels ont pour somme S et pour produit P, alors ils sont solution de l'équation x² - Sx + P = 0."

Ces propriétés sont utiles pour résoudre certains problèmes liés aux équations du second degré sans avoir à calculer explicitement les racines.

MATHEMATIQUES Equations et inequations du 2nd degré Definitions! brnome equation du second degré à une inconnue +bx+c ax racine d'un polynom

Définitions et formes des équations du second degré

Ce chapitre introduit les concepts fondamentaux des équations du second degré. Il commence par définir les termes clés nécessaires à la compréhension du sujet.

Définition: Un polynôme du second degré est une expression de la forme ax² + bx + c, où a, b et c sont des constantes réelles et a ≠ 0.

Vocabulaire: Le discriminant du polynôme, noté Δ, est une valeur calculée à partir des coefficients qui détermine la nature des solutions de l'équation.

Le document présente ensuite les différentes formes sous lesquelles une équation du second degré peut être exprimée :

  1. Forme développée : ax² + bx + c = 0
  2. Forme canonique : ax−x0x - x₀² + y₀ = 0
  3. Forme factorisée : ax−x1x - x₁x−x2x - x₂ = 0

Highlight: La forme factorisée est particulièrement utile car elle permet de lire directement les solutions de l'équation.

Le théorème de résolution est ensuite énoncé, expliquant comment le signe du discriminant Δ = b² - 4ac détermine le nombre et la nature des solutions :

  • Si Δ > 0, l'équation admet deux solutions distinctes.
  • Si Δ = 0, l'équation admet une solution double.
  • Si Δ < 0, l'équation n'admet pas de solution réelle.

Example: Pour l'équation x² - 5x + 6 = 0, le discriminant Δ = −5-5² - 41166 = 1 > 0, donc l'équation admet deux solutions distinctes.

Le théorème de factorisation est également présenté, montrant comment exprimer le polynôme en fonction de ses racines lorsqu'elles existent.



Si on te demande...

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L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

Stefan S

utilisateur iOS

Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

Samantha Klich

utilisatrice Android

Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

Anna

utilisatrice iOS

Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

Thomas R

utilisateur d' Android

super application pour réviser je révise tout les soirs

Esteban M

utilisateur d'Android

Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

utilisateur d'Android

L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

utilisateur Android

Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

Greenlight Bonnie

utilisateur Android

PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰

Khady

utilisatrice d'Android

Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

utilisatrice iOS

C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

Raoul

utilisateur IOS

Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands

Ella

utilisatrice iOS

L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

Stefan S

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Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

Samantha Klich

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Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

Anna

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Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

Thomas R

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super application pour réviser je révise tout les soirs

Esteban M

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Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

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L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

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Signe du polynôme et propriétés des racines

Cette section se concentre sur l'analyse du signe d'un polynôme du second degré et les propriétés de ses racines.

Le théorème sur le signe du polynôme est énoncé et démontré :

  • Si Δ > 0, le polynôme change de signe aux racines x₁ et x₂.
  • Si Δ = 0, le polynôme garde un signe constant sauf en x₀ où il s'annule.
  • Si Δ < 0, le polynôme garde un signe constant, celui de a.

Example: Pour Pxx = x² - 4x + 3, Δ = 4 > 0. Le polynôme est positif pour x < 1 et x > 3, et négatif pour 1 < x < 3.

La démonstration de ce théorème est fournie, utilisant la forme factorisée du polynôme pour analyser son signe.

Highlight: L'analyse du signe d'un polynôme est cruciale pour résoudre des inéquations du second degré.

Enfin, le document présente des propriétés importantes concernant la somme et le produit des racines d'une équation du second degré :

  1. Si x₁ et x₂ sont les racines de ax² + bx + c = 0, alors :

    • Somme des racines : S = x₁ + x₂ = -b/a
    • Produit des racines : P = x₁x₂ = c/a

  2. Réciproquement, si deux réels ont pour somme S et pour produit P, ils sont solutions de l'équation x² - Sx + P = 0.

Quote: "Si deux réels ont pour somme S et pour produit P, alors ils sont solution de l'équation x² - Sx + P = 0."

Ces propriétés sont utiles pour résoudre certains problèmes liés aux équations du second degré sans avoir à calculer explicitement les racines.

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Définitions et formes des équations du second degré

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Définition: Un polynôme du second degré est une expression de la forme ax² + bx + c, où a, b et c sont des constantes réelles et a ≠ 0.

Vocabulaire: Le discriminant du polynôme, noté Δ, est une valeur calculée à partir des coefficients qui détermine la nature des solutions de l'équation.

Le document présente ensuite les différentes formes sous lesquelles une équation du second degré peut être exprimée :

  1. Forme développée : ax² + bx + c = 0
  2. Forme canonique : ax−x0x - x₀² + y₀ = 0
  3. Forme factorisée : ax−x1x - x₁x−x2x - x₂ = 0

Highlight: La forme factorisée est particulièrement utile car elle permet de lire directement les solutions de l'équation.

Le théorème de résolution est ensuite énoncé, expliquant comment le signe du discriminant Δ = b² - 4ac détermine le nombre et la nature des solutions :

  • Si Δ > 0, l'équation admet deux solutions distinctes.
  • Si Δ = 0, l'équation admet une solution double.
  • Si Δ < 0, l'équation n'admet pas de solution réelle.

Example: Pour l'équation x² - 5x + 6 = 0, le discriminant Δ = −5-5² - 41166 = 1 > 0, donc l'équation admet deux solutions distinctes.

Le théorème de factorisation est également présenté, montrant comment exprimer le polynôme en fonction de ses racines lorsqu'elles existent.

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Stefan S

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Samantha Klich

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Anna

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Thomas R

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Esteban M

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Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

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L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

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Greenlight Bonnie

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PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰

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Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

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C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

Raoul

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Ella

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L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

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Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

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Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

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Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

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