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Maths spé - limites de fonctions
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Fiche de révision
5- LIMITES DE FONCTIONS LIMITES EN +∞ ET -8 1. Limite infinie f a pour limite +∞ (resp. -∞) lorsque x tends vers +∞ si pour tout réel A donné, les images f(x) sont plus grandes (resp. petites) que A pour x assez grand. On note lim_ f(x) = +∞ (resp. x →+∞0 lim f(x) = -∞). x →+∞ 2. Limite finie et asymptote horizontale f a pour limite I lorsque x tend vers +∞ ou -∞ si tout univers intervalle ouvert contenant toutes les images f(x) pour x assez grand ou assez petit. On note, lim f(x) = 1 ou_lim_f(x) = l. x → +∞ X→→∞ La droite d'équation y = 1 est une asymptote horizontale à la courbe représentative de f en +∞ (resp. -∞) si et seulement si_lim_f(x) = 1 (resp. _lim_ƒ(x) = 1) x →+∞ x →→∞ LIMITE EN UN RÉEL A Soit h un réel positif et f une fonction définie sur ]a; a + h[ →f a pour limite +∞ (resp. -∞) Lorsque x tend vers a par valeurs supérieures si les images f(x) sont plus grandes (resp. plus petites) que n'importe quel réel donné pour x suffisamment proche de a. On note lim f(x) = +∞ = _lim f(x) (resp. lim f(x) = -∞) x>a x>a La droite d'équation a = x est une asymptote verticale à la...
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courbe représentative de f en a si et seulement si lim f(x) = +∞ x>a ou x<a FONCTIONS DE RÉFÉRENCES lim ¹0+ et lim ¹ = 0- = x →+∞0 x x→→∞ x 1. Addition 1 x→0+ x lim OPÉRATIONS SUR LES LIMITES 1 = +∞ et lim = 100 x-0-X lim √x = +∞0 x→+∞0 lim f(x) x →+∞0 lim g(x) ∞0++x lim (f(x) + g(x)) p+m x→+∞0 2. Multiplication lim f(x) x →+∞0 lim g(x) x →+∞0 2 lim (f(x) × g(x)) pm x → +∞ lim f(x) x→+∞0 lim ∞0++x 1 f (x) lim f(x) x → +∞ 3. Division On suppose que vn ne s'annule pas. lim g(x) m#0 x→+∞ f(x) lim x→+∞ g(x) d m m P ∞0++x lim √f(x) p#0 d 0<d +∞ +0 +∞o ∞o + m m>0 m<0 m>0 m<0 0<d 4. Racine carrée On suppose que (Un) est positive lim f(x) x→+∞0 0 +∞o ∞ 3 +∞ +∞ -∞ 0+ +∞o 0+ -∞ -∞ -∞ ∞ m -∞ p<0 p<0 0 +∞o 0<d df +∞o ∞ 0 F-I -8 P ∞0+ ∞0+ +∞o no +∞ +∞o 0 +∞o +∞ 0+ ∞o + -8 -∞ +∞o +∞o +0 ∞0 + 0 -8 F-I +∞o ∞ -∞ +∞o ∞ 0+ ·∞ +∞ +∞ -∞ +∞o -∞ -∞ -8 -8 0 0- no ∞o+ -8 F-I +∞o no -8 +∞ no ! +∞ F-I Si p entier naturel non nul (N*) : • lim x² = +∞0 ∞0++x • Si p est pair alors_lim_x² = +∞ X-18 • Si p est impair alors_lim_x² = −00 ● x-18 • lim dx ∞0+←x ∞++x 1 x--00 xp = 0 et lim THÉORÈMES DE COMPARAISON Soient f et g deux fonctions telles que f(x) ≤ g(x) sur ]a; +∞[ • Si_lim f(x) = +∞ alors_lim_g(x) = +∞ x → +∞ x → +∞ 0 • Si_lim_g(x) = -∞ alors_lim f(x) =18 x→+∞ x → +∞ 1. Théorème des gendarmes Soient f, g et h trois fonctions telles que f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) sur ]a ; +∞[ soit l € R, si lim f(x) = lim h(x) = 1 alors_lim_g(x) = 1 x →+∞ x→+∞ x →+∞ CAS DE L'EXPONENTIELLE D'après le lemme, Vx € R, e* ≥ x La droite d'équation y = 0 est asymptote horizontale à la courbe de la fonction exponentielle en -0. lim e* = +∞ et lim e* = 0+ X→-8 1. Théorème de croissances comparées • lim xnex = 0 x-18 Pour tout n, entier naturel non nul : • lim = +∞ ex x→+∞0 xn • lim x^e-* =0 x → +∞ I X FONCTION COMPOSÉE Soit f une fonction définie sur I à valeurs dans J et g une fonction définie sur J. Alors la fonction x →→→ g(f(x)) existe Vx E I. C'est la composée de f suivie de g. On la note g of (g rond f) f J f(x) g R →g(f(x)) gof a, b et c désignent des réels ou +∞ ou -∞. Soit f définie sur I avec a E I à valeurs dans J avec bej. Si lim f(x) = b et lim g(X) = c alors lim g(f(x)) = c x→a x→a 3
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74
Tableaux à connaître par cœur, croissances comparées, théorème des gendarmes ainsi que des limites à connaître par cœur.
29
Fonctions Classics et fonctions usuelles
901
Une fiche de révision plus ou moins potable sur presque tous les chapitres.
21
Fiche de révision
19
Fiche de révision sur les limites de fonctions
16
chapitre sur les fonctions, limites et continuité
5- LIMITES DE FONCTIONS LIMITES EN +∞ ET -8 1. Limite infinie f a pour limite +∞ (resp. -∞) lorsque x tends vers +∞ si pour tout réel A donné, les images f(x) sont plus grandes (resp. petites) que A pour x assez grand. On note lim_ f(x) = +∞ (resp. x →+∞0 lim f(x) = -∞). x →+∞ 2. Limite finie et asymptote horizontale f a pour limite I lorsque x tend vers +∞ ou -∞ si tout univers intervalle ouvert contenant toutes les images f(x) pour x assez grand ou assez petit. On note, lim f(x) = 1 ou_lim_f(x) = l. x → +∞ X→→∞ La droite d'équation y = 1 est une asymptote horizontale à la courbe représentative de f en +∞ (resp. -∞) si et seulement si_lim_f(x) = 1 (resp. _lim_ƒ(x) = 1) x →+∞ x →→∞ LIMITE EN UN RÉEL A Soit h un réel positif et f une fonction définie sur ]a; a + h[ →f a pour limite +∞ (resp. -∞) Lorsque x tend vers a par valeurs supérieures si les images f(x) sont plus grandes (resp. plus petites) que n'importe quel réel donné pour x suffisamment proche de a. On note lim f(x) = +∞ = _lim f(x) (resp. lim f(x) = -∞) x>a x>a La droite d'équation a = x est une asymptote verticale à la...
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courbe représentative de f en a si et seulement si lim f(x) = +∞ x>a ou x<a FONCTIONS DE RÉFÉRENCES lim ¹0+ et lim ¹ = 0- = x →+∞0 x x→→∞ x 1. Addition 1 x→0+ x lim OPÉRATIONS SUR LES LIMITES 1 = +∞ et lim = 100 x-0-X lim √x = +∞0 x→+∞0 lim f(x) x →+∞0 lim g(x) ∞0++x lim (f(x) + g(x)) p+m x→+∞0 2. Multiplication lim f(x) x →+∞0 lim g(x) x →+∞0 2 lim (f(x) × g(x)) pm x → +∞ lim f(x) x→+∞0 lim ∞0++x 1 f (x) lim f(x) x → +∞ 3. Division On suppose que vn ne s'annule pas. lim g(x) m#0 x→+∞ f(x) lim x→+∞ g(x) d m m P ∞0++x lim √f(x) p#0 d 0<d +∞ +0 +∞o ∞o + m m>0 m<0 m>0 m<0 0<d 4. Racine carrée On suppose que (Un) est positive lim f(x) x→+∞0 0 +∞o ∞ 3 +∞ +∞ -∞ 0+ +∞o 0+ -∞ -∞ -∞ ∞ m -∞ p<0 p<0 0 +∞o 0<d df +∞o ∞ 0 F-I -8 P ∞0+ ∞0+ +∞o no +∞ +∞o 0 +∞o +∞ 0+ ∞o + -8 -∞ +∞o +∞o +0 ∞0 + 0 -8 F-I +∞o ∞ -∞ +∞o ∞ 0+ ·∞ +∞ +∞ -∞ +∞o -∞ -∞ -8 -8 0 0- no ∞o+ -8 F-I +∞o no -8 +∞ no ! +∞ F-I Si p entier naturel non nul (N*) : • lim x² = +∞0 ∞0++x • Si p est pair alors_lim_x² = +∞ X-18 • Si p est impair alors_lim_x² = −00 ● x-18 • lim dx ∞0+←x ∞++x 1 x--00 xp = 0 et lim THÉORÈMES DE COMPARAISON Soient f et g deux fonctions telles que f(x) ≤ g(x) sur ]a; +∞[ • Si_lim f(x) = +∞ alors_lim_g(x) = +∞ x → +∞ x → +∞ 0 • Si_lim_g(x) = -∞ alors_lim f(x) =18 x→+∞ x → +∞ 1. Théorème des gendarmes Soient f, g et h trois fonctions telles que f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) sur ]a ; +∞[ soit l € R, si lim f(x) = lim h(x) = 1 alors_lim_g(x) = 1 x →+∞ x→+∞ x →+∞ CAS DE L'EXPONENTIELLE D'après le lemme, Vx € R, e* ≥ x La droite d'équation y = 0 est asymptote horizontale à la courbe de la fonction exponentielle en -0. lim e* = +∞ et lim e* = 0+ X→-8 1. Théorème de croissances comparées • lim xnex = 0 x-18 Pour tout n, entier naturel non nul : • lim = +∞ ex x→+∞0 xn • lim x^e-* =0 x → +∞ I X FONCTION COMPOSÉE Soit f une fonction définie sur I à valeurs dans J et g une fonction définie sur J. Alors la fonction x →→→ g(f(x)) existe Vx E I. C'est la composée de f suivie de g. On la note g of (g rond f) f J f(x) g R →g(f(x)) gof a, b et c désignent des réels ou +∞ ou -∞. Soit f définie sur I avec a E I à valeurs dans J avec bej. Si lim f(x) = b et lim g(X) = c alors lim g(f(x)) = c x→a x→a 3