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Maths spé - limites de fonctions
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5- LIMITES DE FONCTIONS LIMITES EN +∞ ET -8 1. Limite infinie f a pour limite +∞ (resp. -∞) lorsque x tends vers +∞ si pour tout réel A donné, les images f(x) sont plus grandes (resp. petites) que A pour x assez grand. On note lim_ f(x) = +∞ (resp. x →+∞0 lim f(x) = -∞). x →+∞ 2. Limite finie et asymptote horizontale f a pour limite I lorsque x tend vers +∞ ou -∞ si tout univers intervalle ouvert contenant toutes les images f(x) pour x assez grand ou assez petit. On note, lim f(x) = 1 ou_lim_f(x) = l. x → +∞ X→→∞ La droite d'équation y = 1 est une asymptote horizontale à la courbe représentative de f en +∞ (resp. -∞) si et seulement si_lim_f(x) = 1 (resp. _lim_ƒ(x) = 1) x →+∞ x →→∞ LIMITE EN UN RÉEL A Soit h un réel positif et f une fonction définie sur ]a; a + h[ →f a pour limite +∞ (resp. -∞) Lorsque x tend vers a par valeurs supérieures si les images f(x) sont plus grandes (resp. plus petites) que n'importe quel réel donné pour x suffisamment proche de a. On note lim f(x) = +∞ = _lim f(x) (resp. lim f(x) = -∞) x>a x>a La droite d'équation a = x est une asymptote verticale à la...
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courbe représentative de f en a si et seulement si lim f(x) = +∞ x>a ou x<a FONCTIONS DE RÉFÉRENCES lim ¹0+ et lim ¹ = 0- = x →+∞0 x x→→∞ x 1. Addition 1 x→0+ x lim OPÉRATIONS SUR LES LIMITES 1 = +∞ et lim = 100 x-0-X lim √x = +∞0 x→+∞0 lim f(x) x →+∞0 lim g(x) ∞0++x lim (f(x) + g(x)) p+m x→+∞0 2. Multiplication lim f(x) x →+∞0 lim g(x) x →+∞0 2 lim (f(x) × g(x)) pm x → +∞ lim f(x) x→+∞0 lim ∞0++x 1 f (x) lim f(x) x → +∞ 3. Division On suppose que vn ne s'annule pas. lim g(x) m#0 x→+∞ f(x) lim x→+∞ g(x) d m m P ∞0++x lim √f(x) p#0 d 0<d +∞ +0 +∞o ∞o + m m>0 m<0 m>0 m<0 0<d 4. Racine carrée On suppose que (Un) est positive lim f(x) x→+∞0 0 +∞o ∞ 3 +∞ +∞ -∞ 0+ +∞o 0+ -∞ -∞ -∞ ∞ m -∞ p<0 p<0 0 +∞o 0<d df +∞o ∞ 0 F-I -8 P ∞0+ ∞0+ +∞o no +∞ +∞o 0 +∞o +∞ 0+ ∞o + -8 -∞ +∞o +∞o +0 ∞0 + 0 -8 F-I +∞o ∞ -∞ +∞o ∞ 0+ ·∞ +∞ +∞ -∞ +∞o -∞ -∞ -8 -8 0 0- no ∞o+ -8 F-I +∞o no -8 +∞ no ! +∞ F-I Si p entier naturel non nul (N*) : • lim x² = +∞0 ∞0++x • Si p est pair alors_lim_x² = +∞ X-18 • Si p est impair alors_lim_x² = −00 ● x-18 • lim dx ∞0+←x ∞++x 1 x--00 xp = 0 et lim THÉORÈMES DE COMPARAISON Soient f et g deux fonctions telles que f(x) ≤ g(x) sur ]a; +∞[ • Si_lim f(x) = +∞ alors_lim_g(x) = +∞ x → +∞ x → +∞ 0 • Si_lim_g(x) = -∞ alors_lim f(x) =18 x→+∞ x → +∞ 1. Théorème des gendarmes Soient f, g et h trois fonctions telles que f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) sur ]a ; +∞[ soit l € R, si lim f(x) = lim h(x) = 1 alors_lim_g(x) = 1 x →+∞ x→+∞ x →+∞ CAS DE L'EXPONENTIELLE D'après le lemme, Vx € R, e* ≥ x La droite d'équation y = 0 est asymptote horizontale à la courbe de la fonction exponentielle en -0. lim e* = +∞ et lim e* = 0+ X→-8 1. Théorème de croissances comparées • lim xnex = 0 x-18 Pour tout n, entier naturel non nul : • lim = +∞ ex x→+∞0 xn • lim x^e-* =0 x → +∞ I X FONCTION COMPOSÉE Soit f une fonction définie sur I à valeurs dans J et g une fonction définie sur J. Alors la fonction x →→→ g(f(x)) existe Vx E I. C'est la composée de f suivie de g. On la note g of (g rond f) f J f(x) g R →g(f(x)) gof a, b et c désignent des réels ou +∞ ou -∞. Soit f définie sur I avec a E I à valeurs dans J avec bej. Si lim f(x) = b et lim g(X) = c alors lim g(f(x)) = c x→a x→a 3
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courbe représentative de f en a si et seulement si lim f(x) = +∞ x>a ou x<a FONCTIONS DE RÉFÉRENCES lim ¹0+ et lim ¹ = 0- = x →+∞0 x x→→∞ x 1. Addition 1 x→0+ x lim OPÉRATIONS SUR LES LIMITES 1 = +∞ et lim = 100 x-0-X lim √x = +∞0 x→+∞0 lim f(x) x →+∞0 lim g(x) ∞0++x lim (f(x) + g(x)) p+m x→+∞0 2. Multiplication lim f(x) x →+∞0 lim g(x) x →+∞0 2 lim (f(x) × g(x)) pm x → +∞ lim f(x) x→+∞0 lim ∞0++x 1 f (x) lim f(x) x → +∞ 3. Division On suppose que vn ne s'annule pas. lim g(x) m#0 x→+∞ f(x) lim x→+∞ g(x) d m m P ∞0++x lim √f(x) p#0 d 0<d +∞ +0 +∞o ∞o + m m>0 m<0 m>0 m<0 0<d 4. Racine carrée On suppose que (Un) est positive lim f(x) x→+∞0 0 +∞o ∞ 3 +∞ +∞ -∞ 0+ +∞o 0+ -∞ -∞ -∞ ∞ m -∞ p<0 p<0 0 +∞o 0<d df +∞o ∞ 0 F-I -8 P ∞0+ ∞0+ +∞o no +∞ +∞o 0 +∞o +∞ 0+ ∞o + -8 -∞ +∞o +∞o +0 ∞0 + 0 -8 F-I +∞o ∞ -∞ +∞o ∞ 0+ ·∞ +∞ +∞ -∞ +∞o -∞ -∞ -8 -8 0 0- no ∞o+ -8 F-I +∞o no -8 +∞ no ! +∞ F-I Si p entier naturel non nul (N*) : • lim x² = +∞0 ∞0++x • Si p est pair alors_lim_x² = +∞ X-18 • Si p est impair alors_lim_x² = −00 ● x-18 • lim dx ∞0+←x ∞++x 1 x--00 xp = 0 et lim THÉORÈMES DE COMPARAISON Soient f et g deux fonctions telles que f(x) ≤ g(x) sur ]a; +∞[ • Si_lim f(x) = +∞ alors_lim_g(x) = +∞ x → +∞ x → +∞ 0 • Si_lim_g(x) = -∞ alors_lim f(x) =18 x→+∞ x → +∞ 1. Théorème des gendarmes Soient f, g et h trois fonctions telles que f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) sur ]a ; +∞[ soit l € R, si lim f(x) = lim h(x) = 1 alors_lim_g(x) = 1 x →+∞ x→+∞ x →+∞ CAS DE L'EXPONENTIELLE D'après le lemme, Vx € R, e* ≥ x La droite d'équation y = 0 est asymptote horizontale à la courbe de la fonction exponentielle en -0. lim e* = +∞ et lim e* = 0+ X→-8 1. Théorème de croissances comparées • lim xnex = 0 x-18 Pour tout n, entier naturel non nul : • lim = +∞ ex x→+∞0 xn • lim x^e-* =0 x → +∞ I X FONCTION COMPOSÉE Soit f une fonction définie sur I à valeurs dans J et g une fonction définie sur J. Alors la fonction x →→→ g(f(x)) existe Vx E I. C'est la composée de f suivie de g. On la note g of (g rond f) f J f(x) g R →g(f(x)) gof a, b et c désignent des réels ou +∞ ou -∞. Soit f définie sur I avec a E I à valeurs dans J avec bej. Si lim f(x) = b et lim g(X) = c alors lim g(f(x)) = c x→a x→a 3