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Distributions de Probabilités et Variables Aléatoires

Bernoulli Trials

Maths194Mis à jour 10 sept. 20262 pages

Probabilité et Loi Binomiale : Guide Complet

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Emma Auger@emmaauger
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Les probabilités et les variables aléatoires sont des outils mathématiques essentiels pour comprendre et analyser les phénomènes incertains. Cette fiche récapitule les concepts fondamentaux : des formules de base aux lois de probabilité spéciales comme la loi binomiale.
Probabilité, loi binomiale – page 1

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Bases des probabilités et arbres de décision

Tu vas voir, les probabilités ne sont pas si compliquées une fois qu'on maîtrise les formules de base ! L'arbre de probabilité est ton meilleur ami pour visualiser les événements.

Les formules fondamentales à retenir absolument : P(B) = P(A∩B) + P(Ā∩B) pour la probabilité totale, et P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) pour l'union. Ces deux formules règlent la majorité des exercices !

Pour l'indépendance, c'est simple : deux événements A et B sont indépendants si P(A∩B) = P(A) × P(B). Sinon, utilise les probabilités conditionnelles avec P(A∩B) = P(A) × P(B|A).

Astuce clé : Dans un arbre, multiplie les probabilités le long des branches pour obtenir P(A∩B), et additionne pour P(A∪B).

Probabilité, loi binomiale – page 2

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Variables aléatoires et loi binomiale

Une variable aléatoire associe simplement un nombre à chaque résultat possible d'une expérience. Tu peux la représenter dans un tableau avec les valeurs xi et leurs probabilités PX=xiX = xi.

Les formules statistiques essentielles sont : l'espérance E(X) = Σ xi × pi (la "moyenne" théorique), la variance V(X) = Σ xi−E(X)xi - E(X)² × pi, et l'écart-type σ(X) = √V(X).

La loi binomiale combine une épreuve de Bernoulli (succès/échec) répétée n fois de manière identique et indépendante. Sa formule magique : PX=kX = k = C(n,k) × p^k × 1−p1-p^n−kn-k, avec une espérance ultra-simple E(X) = np.

Méthode gagnante : Pour reconnaître une binomiale, cherche toujours : nombre fixe d'épreuves, deux issues possibles, probabilité constante, et indépendance entre les épreuves.

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