Application du théorème de Pythagore

Cette section se concentre sur l'application pratique du théorème de Pythagore pour calculer l'hypoténuse d'un triangle rectangle.

Propriété: Si ABC est rectangle en A, alors BC² = AB² + AC².

Un exemple détaillé montre comment calculer la longueur BC dans un triangle rectangle où AB = 3 et AC = 4.

Exemple: Dans un triangle rectangle ABC avec AB = 3 et AC = 4, on calcule BC² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25, donc BC = √25 = 5.

La page introduit également la réciproque et la contraposée du théorème de Pythagore, essentielles pour déterminer si un triangle est rectangle ou non.

Définition: Réciproque du théorème de Pythagore : Si BC² = AB² + AC², alors ABC est rectangle en A.

Définition: Contraposée du théorème de Pythagore : Si BC² ≠ AB² + AC², alors ABC n'est pas rectangle.

Ces concepts sont fondamentaux pour calculer triangle rectangle avec angle et pour comprendre la démonstration théorème de Pythagore - collège.

Vérification de la nature d'un triangle

Cette dernière partie se concentre sur l'application pratique de la réciproque et de la contraposée du théorème de Pythagore pour déterminer si un triangle est rectangle ou non.

Un premier exemple montre comment vérifier si un triangle ABC avec des côtés de longueurs 5, 12 et 13 est rectangle :

Exemple: Pour ABC avec BC = 13, AC = 12, et AB = 5, on vérifie que BC² = 13² = 169 et AC² + AB² = 12² + 5² = 144 + 25 = 169. Comme BC² = AC² + AB², ABC est rectangle en A.

Un second exemple illustre l'utilisation de la contraposée pour montrer qu'un triangle DEC avec des côtés de longueurs 7, 12 et 15 n'est pas rectangle :

Exemple: Pour DEC avec DC = 15, DE = 7, et CE = 12, on calcule DC² = 15² = 225 et DE² + CE² = 7² + 12² = 49 + 144 = 193. Comme DC² ≠ DE² + CE², DEC n'est pas rectangle.

Ces exemples pratiques renforcent la compréhension de la démonstration du théorème de Pythagore par Euclide et montrent comment calculer l'hypoténuse d'un triangle rectangle avec le cosinus ou le sinus n'est pas toujours nécessaire pour déterminer la nature d'un triangle.

Highlight: La maîtrise de ces concepts permet de résoudre efficacement des problèmes géométriques complexes et de vérifier rapidement la nature des triangles.

L'inégalité de Pythagore et les racines carrées

Le chapitre débute par l'énoncé fondamental du théorème de Pythagore. Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. Cette propriété est exprimée mathématiquement par l'équation BC² = CA² + BA².

Définition: La racine carrée d'un nombre positif A est le nombre positif dont le carré vaut A, noté √A.

Le concept de racine carrée est introduit, essentiel pour calculer les côtés d'un triangle rectangle avec l'hypoténuse. Des exemples de racines carrées parfaites sont fournis, allant de √1 à √169.

Exemple: √4 = 2, √9 = 3, √16 = 4, etc.

Cette page pose les bases nécessaires pour comprendre comment calculer l'hypoténuse d'un triangle rectangle sans Pythagore directement, en utilisant les propriétés des racines carrées.

Highlight: La compréhension des racines carrées est cruciale pour appliquer efficacement le théorème de Pythagore dans des situations pratiques.