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Mis à jour Mar 20, 2026

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Kotne Funkcije: Pravokotni Trikotnik in Enotska Krožnica

Kotne funkcije so temelj trigonometrije in jih boš potreboval pri... Affiche plus

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# Kotne funkcije v pravokotnem
trikotniku in na enotski
krožnici

Ponovitev kotnih funkcij v pravokotnem trikotniku

To je osnova, ki jo mor

Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku - osnove

Vse se začne s pravokotnim trikotnikom in razmerji med njegovimi stranicami. To je temelj, ki ga moraš obvladati, ker se na to navezuje vse ostalo.

V pravokotnem trikotniku imaš tri stranice: nasprotno kateto (nasproti kotu α), priležno kateto (ob kotu α) in hipotenuzo (najdaljša stranica). Kotne funkcije so preprosto razmerja med tema stranicama.

Zapomni si kratico SOH-CAH-TOA: Sinus = nasprotna/hipotenuza, Kosinus = priležna/hipotenuza, Tangens = nasprotna/priležna. To ti bo pomagalo pri vseh izračunih.

Pozor! Te definicije delujejo samo za ostre kote (med 0° in 90°). Za večje kote potrebuješ enotsko krožnico.

# Kotne funkcije v pravokotnem
trikotniku in na enotski
krožnici

Ponovitev kotnih funkcij v pravokotnem trikotniku

To je osnova, ki jo mor

Definicije kotnih funkcij

Tukaj so štiri glavne kotne funkcije za ostri kot α, ki jih moraš znati na pamet:

Sinus: sin α = nasprotna kateta/hipotenuza = a/c Kosinus: cos α = priležna kateta/hipotenuza = b/c
Tangens: tan α = nasprotna kateta/priležna kateta = a/b Kotangens: cot α = priležna kateta/nasprotna kateta = b/a

Te formule uporabljaj pri vseh nalogah s pravokotnimi trikotniki. Če imaš podan kot in eno stranico, lahko izračunaš vse ostale.

Problem nastane, ko hočeš izračunati kotne funkcije za kote, večje od 90°. Tu ti pomaga enotska krožnica - krožnica s polmerom 1 in središčem v koordinatnem izhodišču.

# Kotne funkcije v pravokotnem
trikotniku in na enotski
krožnici

Ponovitev kotnih funkcij v pravokotnem trikotniku

To je osnova, ki jo mor

Prehod na enotsko krožnico

Enotska krožnica ti omogoča, da definiraš kotne funkcije za katerikoli kot, ne samo za ostre. Njena enačba je x² + y² = 1.

Postopek je enostaven: nariši kot α od pozitivne osi x (v nasprotni smeri urinega kazalca). Kjer premični krak seka krožnico, je točka T(x,y).

Tukaj pride genialnost: koordinati te točke sta kar vrednosti kotnih funkcij! Kosinus je x-koordinata, sinus pa y-koordinata točke T.

Ključno spoznanje: cos α = x in sin α = y. Iz tega lahko izpelješ tudi tan α = y/x in cot α = x/y (če niso nič).

# Kotne funkcije v pravokotnem
trikotniku in na enotski
krožnici

Ponovitev kotnih funkcij v pravokotnem trikotniku

To je osnova, ki jo mor

Formule na enotski krožnici in predznaki

Na enotski krožnici velja: cos α = x, sin α = y, tan α = sin α/cos α in cot α = cos α/sin α.

Najpomembnejša formula v trigonometriji je temeljna trigonometrična identiteta: cos² α + sin² α = 1. To moraš znati na pamet!

Predznaki po kvadrantih so ključni za pravilne rezultate:

  • I. kvadrant (0°-90°): vse funkcije pozitivne
  • II. kvadrant (90°-180°): samo sinus pozitiven
  • III. kvadrant (180°-270°): samo tangens in kotangens pozitivna
  • IV. kvadrant (270°-360°): samo kosinus pozitiven

Pomnjalni trik: "Vsi Študentje Trigonometrije Cenijo" - V prvem so Vse pozitivne, v drugem Sinus, v tretjem Tangens, v četrtem Cosinus.

# Kotne funkcije v pravokotnem
trikotniku in na enotski
krožnici

Ponovitev kotnih funkcij v pravokotnem trikotniku

To je osnova, ki jo mor

Vrednosti za pomembne kote

Te vrednosti moraš znati popolnoma na pamet - brez njih ne moreš rešiti nobene naloge na maturi:

: sin = 0, cos = 1, tan = 0 30°: sin = 1/2, cos = √3/2, tan = √3/3 45°: sin = √2/2, cos = √2/2, tan = 1
60°: sin = √3/2, cos = 1/2, tan = √3 90°: sin = 1, cos = 0, tan = nedefiniran

Opomni si, da tan 90° ni definiran, ker bi delil z nič cos90°=0cos 90° = 0. Enako velja za cot 0° in cot 180°.

Učni nasvet: Naredi si kartonček in se vsak dan sprašuj te vrednosti, dokler jih ne znaš avtomatsko. To ti bo prihranilo ogromno časa na testih.

# Kotne funkcije v pravokotnem
trikotniku in na enotski
krožnici

Ponovitev kotnih funkcij v pravokotnem trikotniku

To je osnova, ki jo mor

Rešeni primeri - pravokotni trikotnik in enotska krožnica

Primer iz pravokotnega trikotnika: Če je hipotenuza = 10 cm in kot α = 30°, potem a = 10 × sin 30° = 10 × 1/2 = 5 cm in b = 10 × cos 30° = 10 × √3/2 = 5√3 cm.

Primer z enotsko krožnico: Za sin 210° najprej ugotoviš, da je 210° v III. kvadrantu (med 180° in 270°). Tu je sinus negativen.

Referenčni kot je 210° - 180° = 30°. Torej sin 210° = -sin 30° = -1/2. Podobno cos 210° = -cos 30° = -√3/2, tan 210° = √3/3 (pozitiven v III. kvadrantu).

Strategija: Pri kotih izven I. kvadranta vedno find referenčni kot in nato pravilno določi predznak glede na kvadrant.

# Kotne funkcije v pravokotnem
trikotniku in na enotski
krožnici

Ponovitev kotnih funkcij v pravokotnem trikotniku

To je osnova, ki jo mor

Primer z osnovno zvezo

Naloga: Če je sin α = 4/5 in je α v II. kvadrantu, izračunaj cos α in tan α.

Uporabiš temeljno zvezo: sin² α + cos² α = 1 (4/5)² + cos² α = 1 16/25 + cos² α = 1 cos² α = 9/25 cos α = ±3/5

Ker je α v II. kvadrantu, je kosinus negativen, torej cos α = -3/5.

Za tangens: tan α = sin α/cos α = (4/5)/(-3/5) = -4/3 (negativen, ker smo v II. kvadrantu).

Pomembno: Vedno preveri, ali se predznak ujema s kvadrantom, v katerem se nahaja kot!

# Kotne funkcije v pravokotnem
trikotniku in na enotski
krožnici

Ponovitev kotnih funkcij v pravokotnem trikotniku

To je osnova, ki jo mor

Hiter pregled za test

Osnove: SOH-CAH-TOA za pravokotne trikotnike. Enotska krožnica: cos α = x, sin α = y, kjer je T(x,y) presečišče.

Temeljna zveza: sin² α + cos² α = 1 (to moraš znati!)

Predznaki: I-vse pozitivne, II-samo sin, III-samo tan/cot, IV-samo cos.

Ključne vrednosti: 0°, 30°, 45°, 60°, 90° - naučiti se na pamet!

Prevedba na I. kvadrant: II.kv: 180°-α, III.kv: α-180°, IV.kv: 360°-α.

Zadnji nasvet: Periodičnost - sin in cos se ponavljata vsake 360°, tan in cot pa vsake 180°. To ti pomaga pri večjih kotih.



Si on te demande...

Qu'est-ce que le compagnon IA de Knowunity ?

Notre compagnon IA est spécialement conçu pour répondre aux besoins des étudiants. Sur la base des millions d'éléments de contenu que nous avons sur la plateforme, nous pouvons fournir des réponses vraiment significatives et pertinentes aux étudiants. Mais il ne s'agit pas seulement de réponses, le compagnon a encore plus pour but de guider les élèves dans leurs défis d'apprentissage quotidiens, avec des plans d'étude personnalisés, des quiz ou des éléments de contenu dans le chat et une personnalisation à 100% basée sur les compétences et les développements de l'étudiant.

Où puis-je télécharger l'appli Knowunity ?

Tu peux télécharger l'application dans Google Play Store et dans l'App Store d'Apple.

L'application est-elle vraiment gratuite ?

Oui, tu as un accès entièrement gratuit à tous les contenus de l'appli, tu peux chatter ou suivre les créateurs à tout moment. De plus, nous proposons Knowunity Premium, qui te permet de réviser sans limites!

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4.6/5

App Store

4.7/5

Google Play

L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

Stefan S

utilisateur iOS

Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

Samantha Klich

utilisatrice Android

Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

Anna

utilisatrice iOS

Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

Thomas R

utilisateur d' Android

super application pour réviser je révise tout les soirs

Esteban M

utilisateur d'Android

Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

utilisateur d'Android

L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

utilisateur Android

Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

Greenlight Bonnie

utilisateur Android

PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰

Khady

utilisatrice d'Android

Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

utilisatrice iOS

LES QUIZ ET CARTES MÉMOIRE SONT TROP UTILES ET J'ADORE Knowunity IA. C'EST LITTÉRALEMENT COMME CHATGPT MAIS EN PLUS INTELLIGENT !! ÇA M'A AIDÉ AVEC MES PROBLÈMES DE MASCARA AUSSI !! AINSI QUE MES VRAIES MATIÈRES ! ÉVIDEMMENT 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Raoul

utilisateur IOS

Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands

Ella

utilisatrice iOS

L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

Stefan S

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Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

Samantha Klich

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Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

Anna

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Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

Thomas R

utilisateur d' Android

super application pour réviser je révise tout les soirs

Esteban M

utilisateur d'Android

Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

utilisateur d'Android

L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

utilisateur Android

Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

Greenlight Bonnie

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PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰

Khady

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Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

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Raoul

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Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands

Ella

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Kotne Funkcije: Pravokotni Trikotnik in Enotska Krožnica

Kotne funkcije so temelj trigonometrije in jih boš potreboval pri maturiteti ter v nadaljnjem študiju. Začnejo se z enostavnimi razmerji v pravokotnem trikotniku, nato pa se razširijo na enotsko krožnico, kjer lahko rešuješ probleme z vsemi koti.

# Kotne funkcije v pravokotnem
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Vse se začne s pravokotnim trikotnikom in razmerji med njegovimi stranicami. To je temelj, ki ga moraš obvladati, ker se na to navezuje vse ostalo.

V pravokotnem trikotniku imaš tri stranice: nasprotno kateto (nasproti kotu α), priležno kateto (ob kotu α) in hipotenuzo (najdaljša stranica). Kotne funkcije so preprosto razmerja med tema stranicama.

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Sinus: sin α = nasprotna kateta/hipotenuza = a/c Kosinus: cos α = priležna kateta/hipotenuza = b/c
Tangens: tan α = nasprotna kateta/priležna kateta = a/b Kotangens: cot α = priležna kateta/nasprotna kateta = b/a

Te formule uporabljaj pri vseh nalogah s pravokotnimi trikotniki. Če imaš podan kot in eno stranico, lahko izračunaš vse ostale.

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Postopek je enostaven: nariši kot α od pozitivne osi x (v nasprotni smeri urinega kazalca). Kjer premični krak seka krožnico, je točka T(x,y).

Tukaj pride genialnost: koordinati te točke sta kar vrednosti kotnih funkcij! Kosinus je x-koordinata, sinus pa y-koordinata točke T.

Ključno spoznanje: cos α = x in sin α = y. Iz tega lahko izpelješ tudi tan α = y/x in cot α = x/y (če niso nič).

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Najpomembnejša formula v trigonometriji je temeljna trigonometrična identiteta: cos² α + sin² α = 1. To moraš znati na pamet!

Predznaki po kvadrantih so ključni za pravilne rezultate:

  • I. kvadrant (0°-90°): vse funkcije pozitivne
  • II. kvadrant (90°-180°): samo sinus pozitiven
  • III. kvadrant (180°-270°): samo tangens in kotangens pozitivna
  • IV. kvadrant (270°-360°): samo kosinus pozitiven

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: sin = 0, cos = 1, tan = 0 30°: sin = 1/2, cos = √3/2, tan = √3/3 45°: sin = √2/2, cos = √2/2, tan = 1
60°: sin = √3/2, cos = 1/2, tan = √3 90°: sin = 1, cos = 0, tan = nedefiniran

Opomni si, da tan 90° ni definiran, ker bi delil z nič cos90°=0cos 90° = 0. Enako velja za cot 0° in cot 180°.

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Rešeni primeri - pravokotni trikotnik in enotska krožnica

Primer iz pravokotnega trikotnika: Če je hipotenuza = 10 cm in kot α = 30°, potem a = 10 × sin 30° = 10 × 1/2 = 5 cm in b = 10 × cos 30° = 10 × √3/2 = 5√3 cm.

Primer z enotsko krožnico: Za sin 210° najprej ugotoviš, da je 210° v III. kvadrantu (med 180° in 270°). Tu je sinus negativen.

Referenčni kot je 210° - 180° = 30°. Torej sin 210° = -sin 30° = -1/2. Podobno cos 210° = -cos 30° = -√3/2, tan 210° = √3/3 (pozitiven v III. kvadrantu).

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Ker je α v II. kvadrantu, je kosinus negativen, torej cos α = -3/5.

Za tangens: tan α = sin α/cos α = (4/5)/(-3/5) = -4/3 (negativen, ker smo v II. kvadrantu).

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Temeljna zveza: sin² α + cos² α = 1 (to moraš znati!)

Predznaki: I-vse pozitivne, II-samo sin, III-samo tan/cot, IV-samo cos.

Ključne vrednosti: 0°, 30°, 45°, 60°, 90° - naučiti se na pamet!

Prevedba na I. kvadrant: II.kv: 180°-α, III.kv: α-180°, IV.kv: 360°-α.

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Samantha Klich

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Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

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Khady

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Ella

utilisatrice iOS

L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

Stefan S

utilisateur iOS

Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

Samantha Klich

utilisatrice Android

Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

Anna

utilisatrice iOS

Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

Thomas R

utilisateur d' Android

super application pour réviser je révise tout les soirs

Esteban M

utilisateur d'Android

Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

utilisateur d'Android

L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

utilisateur Android

Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

Greenlight Bonnie

utilisateur Android

PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰

Khady

utilisatrice d'Android

Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

utilisatrice iOS

LES QUIZ ET CARTES MÉMOIRE SONT TROP UTILES ET J'ADORE Knowunity IA. C'EST LITTÉRALEMENT COMME CHATGPT MAIS EN PLUS INTELLIGENT !! ÇA M'A AIDÉ AVEC MES PROBLÈMES DE MASCARA AUSSI !! AINSI QUE MES VRAIES MATIÈRES ! ÉVIDEMMENT 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Raoul

utilisateur IOS

Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands

Ella

utilisatrice iOS