Kaj je linearna funkcija?

Če se sprašuješ, zakaj se sploh učimo linearne funkcije - odgovor je preprost! Linearna funkcija opisuje, kako se ena stvar enakomerno spreminja glede na drugo. To vidimo povsod - od stroškov telefonskega računa do poti, ki jo prevozi avto.

Osnovna oblika linearne funkcije je y = kx + n. Tu je x neodvisna spremenljivka (to si ti izbereš), y pa je odvisna (njena vrednost se spremeni glede na x).

Smerni koeficient k ti pove, ali funkcija narašča (k > 0), pada (k < 0) ali je vodoravna $k = 0$. Začetna vrednost n pa ti pokaže, kje premica seka y-os.

💡 Pomni: Če je k pozitiven, premica gre navzgor, če je negativen, gre navzdol!

Kako narišeš graf linearne funkcije

Risanje grafa zveni težko, a je dejansko preprosto, če poznaš trik! Najprej določiš n - to je tvoja prva točka na y-osi, T₁(0, n).

Nato uporabiš smerni koeficient k. Vedno si ga predstavljaj kot ulomek - če je k = 2, si predstavljaj k = 2/1. To pomeni: premakni se 1 desno in 2 navzgor.

Za drugo točko T₂ se iz T₁ premakneš za imenovalec v desno in za števec navzgor (če je k pozitiven) ali navzdol (če je negativen). Skozi obe točki narišeš premico.

💡 Nasvet: Vedno preveri svoj graf z vstavitvijo koordinat nazaj v enačbo!

Presečišča s koordinatnima osema

Vsaka premica seka obe osi v določenih točkah, ki so zelo pomembne za razumevanje funkcije.

Presečišče z y-osjo je preprosto - to je kar začetna vrednost n. Točka je My(0, n). To se zgodi, ker je x = 0, torej y = k·0 + n = n.

Presečišče z x-osjo (tudi ničla funkcije) je malo bolj zapleteno. Tu je y = 0, zato rešuješ enačbo 0 = kx + n. Rešitev je x = -n/k, torej točka Mx$-n/k, 0$.

💡 Pozor: Ničla obstaja le, če k ≠ 0. Vodoravne premice $k = 0$ sekajo x-os le, če gre premica skozi izhodišče!

Rešeni primeri korak za korakom

Za funkcijo y = 2x - 1 je k = 2 in n = -1. Ker je k pozitiven, funkcija narašča. Graf seka y-os v točki (0, -1).

Za risanje: T₁(0, -1), nato se premaknem 1 desno in 2 navzgor do T₂(1, 1). Ničla je pri y = 0: 0 = 2x - 1, torej x = 1/2.

Če imaš dve točki, npr. A(-1, 5) in B(2, -1), najprej izračunaš k = $y₂-y₁$/$x₂-x₁$ = (-1-5)/(2-(-1)) = -6/3 = -2.

Nato vsaviš eno točko v y = -2x + n. Z A(-1, 5): 5 = -2(-1) + n, torej n = 3. Končna enačba je y = -2x + 3.

💡 Preveri vedno: Vstavi drugo točko v svojo enačbo - če se izide, imaš prav!

Hiter povzetek za test

Osnovna enačba: y = kx + n, kjer k določa strmino in smer, n pa presečišče z y-osjo.

Smerni koeficient k: pozitiven → narašča, negativen → pada, nič → vodoravna premica.

Risanje: označi n na y-osi, nato se premakni po receptu k = Δy/Δx do druge točke.

Presečišča: z y-osjo je (0, n), z x-osjo pa $-n/k, 0$.

Iskanje enačbe iz dveh točk: izračunaj k, nato vstavi koordinate ene točke za n.

💡 Najpogostejša napaka: pozor na predznake! Dvakrat preveri, predvsem pri negativnih številih.

Končni nasveti

Vzporedne premice imajo enak smerni koeficient k. Navpične premice $x = konstanta$ niso funkcije, ker eni vrednosti x pripada več vrednosti y.