Fonctions linéaires et factorisation

Cette page traite des fonctions linéaires et approfondit les techniques de factorisation.

Fonctions linéaires

Une fonction linéaire est définie par f(x) = ax, où a est le coefficient directeur.

Définition: Une fonction linéaire est une fonction dont la représentation graphique est une droite passant par l'origine du repère.

Le document présente un tableau de valeurs et une représentation graphique pour illustrer les propriétés des fonctions linéaires.

Highlight: Le coefficient directeur a représente la pente de la droite et détermine si la fonction est croissante (a > 0) ou décroissante (a < 0).

Représentation graphique

La page explique comment tracer la représentation graphique d'une fonction linéaire :

1. Créer un tableau de valeurs
2. Placer les points correspondants dans un repère
3. Relier les points pour obtenir une droite

Exemple: Pour la fonction f(x) = 2x, on peut utiliser les points (0,0), (1,2), (2,4) pour tracer la droite.

Factorisation avancée

Le document présente des techniques de factorisation plus avancées, notamment :

1. Identification du facteur commun
2. Application de la propriété de distributivité
3. Réduction des termes à l'intérieur des parenthèses

Exemple: Factoriser B = (x+3)(2x+1) - (x+3)(-7x+4) B = (x+3)[(2x+1) - (-7x+4)] B = (x+3)(2x+1+7x-4) B = (x+3)(9x-3)

Vocabulaire:

• Facteur commun : terme ou expression qui apparaît dans tous les termes d'une expression algébrique

Résolution algébrique et fonctions

Ce chapitre aborde les techniques de résolution d'équations algébriques et le travail avec les fonctions mathématiques.

Résolution d'équations

La page présente des exemples de résolution d'équations algébriques, notamment :

3(2-x) = 5x-7

La méthode de résolution implique de développer les expressions, regrouper les termes semblables et isoler la variable x.

Exemple: 6-3x = 5x-7 -8x = -13 x = 13/8

Fonctions

Le document explique comment trouver l'image et l'antécédent d'une fonction :

Définition:

• Image : valeur de sortie de la fonction pour une entrée donnée
• Antécédent : valeur d'entrée qui donne une sortie spécifique

Exemple: Trouver l'image de -2 par la fonction f(x) = x² - 5x + 3 f(-2) = (-2)² - 5(-2) + 3 = 4 + 10 + 3 = 17

Calcul des puissances

Une section est dédiée au calcul des puissances, avec des exemples comme :

5⁵ x 5² x 5⁰ = 5⁷

Highlight: Il est important de bien maîtriser les règles de calcul des puissances pour simplifier les expressions algébriques complexes.

Théorème de Thalès

Le théorème de Thalès est présenté avec un exemple d'application :

Définition: Si deux droites sont coupées par des parallèles, alors les segments déterminés sur ces droites sont proportionnels.

Un exemple numérique est fourni pour illustrer l'utilisation du théorème dans le calcul de longueurs.

Factorisation et équations

Cette page se concentre sur les techniques de factorisation et la résolution d'équations plus complexes.

Factorisation

Plusieurs méthodes de factorisation sont présentées :

1. Utilisation d'identités remarquables
2. Recherche d'un facteur commun
3. Factorisation par groupement

Exemple: Factoriser 25 - 16a² = 5² - (4a)² = (5+4a)(5-4a)

Équations

Le document aborde la résolution d'équations plus complexes, notamment celles impliquant des produits nuls :

Highlight: Pour résoudre une équation de la forme (a)(b) = 0, on utilise la propriété du produit nul : a = 0 ou b = 0.

Un exemple détaillé est fourni :

A = x²(x-4) - 9(x-4) = 0

1. Factoriser : (x-4)(x²-9) = 0
2. Résoudre chaque facteur égal à zéro

Vocabulaire:

• Équation de produit nul : équation où un produit de facteurs est égal à zéro

Identités remarquables

Les identités remarquables sont mentionnées comme un outil important pour la factorisation :

• (a+b)² = a² + 2ab + b²
• (a-b)² = a² - 2ab + b²
• a² - b² = (a+b)(a-b)

Définition: Les identités remarquables sont des formules algébriques qui permettent de développer ou factoriser rapidement certaines expressions.