La fonction valeur absolue est une fonction de référence super... Affiche plus
Maths
Histoire
Philosophie
HGGSP
FrançaisInscris-toi pour voir le contenuC'est gratuit!
Accès à tous les documents
Améliore tes notes
Rejoins des millions d'étudiants
1,308
•
Mis à jour Mar 6, 2026
•
La valeur absolue : Graphique et étude de la continuité et dérivabilité
S
Slowzy
@slowzy
1 / 6
Définition et propriétés de base
Tu connais déjà la valeur absolue sans le savoir : c'est la distance d'un nombre à zéro ! La fonction valeur absolue f(x) = |x| est définie sur ℝ tout entier.
Voici comment elle fonctionne : si x ≥ 0, alors |x| = x (le nombre reste tel quel). Si x ≤ 0, alors |x| = -x (on change le signe pour le rendre positif). Par exemple, |5| = 5 et |-3| = 3.
💡 Astuce : La valeur absolue donne toujours un résultat positif ou nul, jamais négatif !
La propriété clé à retenir : |x| est toujours un réel positif, peu importe la valeur de x.
Variations et dérivabilité
La fonction valeur absolue a un comportement particulier : elle décroît sur ]-∞; 0] puis croît sur [0; +∞[. Autrement dit, elle forme un "V" avec son minimum en x = 0.
Pour la dérivée, c'est là que ça devient intéressant ! Si x > 0, alors f'(x) = 1. Si x < 0, alors f'(x) = -1. Mais attention : en x = 0, la fonction n'est pas dérivable du tout !
🚨 Point crucial : La non-dérivabilité en 0 vient du fait que la limite du taux d'accroissement donne 1 à droite et -1 à gauche.
Cette non-dérivabilité explique pourquoi la courbe fait un "angle" pointu en zéro au lieu d'être arrondie.
Applications pratiques
Un lien super utile à connaître : √(x²) = |x| pour tout x réel. Ça peut te sauver dans plein d'exercices ! Par exemple, √((-5)²) = √25 = 5 = |-5|.
La courbe représentative de |x| ressemble à un V parfait centré sur l'origine. Le point (0,0) est le sommet de ce V.
✨ Technique pro : Tu peux "redresser" n'importe quelle courbe en lui appliquant la valeur absolue - toutes les parties négatives remontent au-dessus de l'axe des x !
Cette technique de redressement transforme par exemple la parabole f(x) = x² - 6x + 8 qui descend sous l'axe des x en une courbe entièrement positive.
Étude complète d'un exemple
Prenons g(x) = |2x - 4| pour voir comment étudier une fonction avec valeur absolue. D'abord, tu dois déterminer quand l'expression à l'intérieur change de signe.
Ici, 2x - 4 = 0 quand x = 2. Donc : si x > 2, alors g(x) = 2x - 4. Si x ≤ 2, alors g(x) = - = -2x + 4.
📊 Méthode : Trouve d'abord le point critique (où l'expression s'annule), puis écris les deux expressions selon les intervalles.
Pour la dérivée : g'(x) = 2 si x > 2, et g'(x) = -2 si x < 2. En x = 2, elle n'est pas dérivable (d'où la double barre dans le tableau de variations).
Tableau de variations et représentation
Le tableau de variations de g(x) = |2x - 4| montre que g décroît sur ]-∞; 2[ puis croît sur ]2; +∞[. Le minimum est atteint en x = 2 avec g(2) = 0.
La représentation graphique donne une courbe en V dont le sommet est au point (2, 0). C'est comme la courbe de |x| mais décalée de 2 unités vers la droite.
🎯 Point clé : La double barre en x = 2 sur la ligne de g' indique la non-dérivabilité, mais g reste définie en ce point.
Cette méthode d'étude s'applique à toutes les fonctions contenant une valeur absolue : détermine les intervalles, écris les expressions correspondantes, puis étudie chaque morceau séparément.
Si on te demande...
Qu'est-ce que le compagnon IA de Knowunity ?
Notre compagnon IA est spécialement conçu pour répondre aux besoins des étudiants. Sur la base des millions d'éléments de contenu que nous avons sur la plateforme, nous pouvons fournir des réponses vraiment significatives et pertinentes aux étudiants. Mais il ne s'agit pas seulement de réponses, le compagnon a encore plus pour but de guider les élèves dans leurs défis d'apprentissage quotidiens, avec des plans d'étude personnalisés, des quiz ou des éléments de contenu dans le chat et une personnalisation à 100% basée sur les compétences et les développements de l'étudiant.
Où puis-je télécharger l'appli Knowunity ?
Tu peux télécharger l'application dans Google Play Store et dans l'App Store d'Apple.
L'application est-elle vraiment gratuite ?
Oui, tu as un accès entièrement gratuit à tous les contenus de l'appli, tu peux chatter ou suivre les créateurs à tout moment. De plus, nous proposons Knowunity Premium, qui te permet de réviser sans limites!
Contenus les plus populaires : Fonction Valeur Absolue
Contenus les plus populaires en Maths
Contenus les plus populaires
Rien ne te convient ? Explore d'autres matières.
Les étudiants nous adorent — il ne manque plus que toi.
4.6/5
App Store
4.7/5
Google Play
L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.
Stefan S
utilisateur iOS
Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.
Samantha Klich
utilisatrice Android
Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.
Anna
utilisatrice iOS
Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣
Thomas R
utilisateur d' Android
super application pour réviser je révise tout les soirs
Esteban M
utilisateur d'Android
Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment
Leny
utilisateur d'Android
L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !
Sudenaz Ocak
utilisateur Android
Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.
Greenlight Bonnie
utilisateur Android
PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰
Khady
utilisatrice d'Android
Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!
Claire
utilisatrice iOS
LES QUIZ ET CARTES MÉMOIRE SONT TROP UTILES ET J'ADORE Knowunity IA. C'EST LITTÉRALEMENT COMME CHATGPT MAIS EN PLUS INTELLIGENT !! ÇA M'A AIDÉ AVEC MES PROBLÈMES DE MASCARA AUSSI !! AINSI QUE MES VRAIES MATIÈRES ! ÉVIDEMMENT 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Raoul
utilisateur IOS
Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands
Ella
utilisatrice iOS
L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.
Stefan S
utilisateur iOS
Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.
Samantha Klich
utilisatrice Android
Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.
Anna
utilisatrice iOS
Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣
Thomas R
utilisateur d' Android
super application pour réviser je révise tout les soirs
Esteban M
utilisateur d'Android
Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment
Leny
utilisateur d'Android
L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !
Sudenaz Ocak
utilisateur Android
Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.
Greenlight Bonnie
utilisateur Android
PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰
Khady
utilisatrice d'Android
Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!
Claire
utilisatrice iOS
LES QUIZ ET CARTES MÉMOIRE SONT TROP UTILES ET J'ADORE Knowunity IA. C'EST LITTÉRALEMENT COMME CHATGPT MAIS EN PLUS INTELLIGENT !! ÇA M'A AIDÉ AVEC MES PROBLÈMES DE MASCARA AUSSI !! AINSI QUE MES VRAIES MATIÈRES ! ÉVIDEMMENT 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Raoul
utilisateur IOS
Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands
Ella
utilisatrice iOS
La valeur absolue : Graphique et étude de la continuité et dérivabilité
S
Slowzy
@slowzy
La fonction valeur absolue est une fonction de référence super importante en maths ! Elle transforme tous les nombres négatifs en positifs et laisse les positifs inchangés. Tu vas voir qu'elle a des propriétés particulières qui la rendent unique.
Définition et propriétés de base
Tu connais déjà la valeur absolue sans le savoir : c'est la distance d'un nombre à zéro ! La fonction valeur absolue f(x) = |x| est définie sur ℝ tout entier.
Voici comment elle fonctionne : si x ≥ 0, alors |x| = x (le nombre reste tel quel). Si x ≤ 0, alors |x| = -x (on change le signe pour le rendre positif). Par exemple, |5| = 5 et |-3| = 3.
💡 Astuce : La valeur absolue donne toujours un résultat positif ou nul, jamais négatif !
La propriété clé à retenir : |x| est toujours un réel positif, peu importe la valeur de x.
Inscris-toi pour voir le contenuC'est gratuit!
Accès à tous les documents
Améliore tes notes
Rejoins des millions d'étudiants
Variations et dérivabilité
La fonction valeur absolue a un comportement particulier : elle décroît sur ]-∞; 0] puis croît sur [0; +∞[. Autrement dit, elle forme un "V" avec son minimum en x = 0.
Pour la dérivée, c'est là que ça devient intéressant ! Si x > 0, alors f'(x) = 1. Si x < 0, alors f'(x) = -1. Mais attention : en x = 0, la fonction n'est pas dérivable du tout !
🚨 Point crucial : La non-dérivabilité en 0 vient du fait que la limite du taux d'accroissement donne 1 à droite et -1 à gauche.
Cette non-dérivabilité explique pourquoi la courbe fait un "angle" pointu en zéro au lieu d'être arrondie.
Inscris-toi pour voir le contenuC'est gratuit!
Accès à tous les documents
Améliore tes notes
Rejoins des millions d'étudiants
Applications pratiques
Un lien super utile à connaître : √(x²) = |x| pour tout x réel. Ça peut te sauver dans plein d'exercices ! Par exemple, √((-5)²) = √25 = 5 = |-5|.
La courbe représentative de |x| ressemble à un V parfait centré sur l'origine. Le point (0,0) est le sommet de ce V.
✨ Technique pro : Tu peux "redresser" n'importe quelle courbe en lui appliquant la valeur absolue - toutes les parties négatives remontent au-dessus de l'axe des x !
Cette technique de redressement transforme par exemple la parabole f(x) = x² - 6x + 8 qui descend sous l'axe des x en une courbe entièrement positive.
Inscris-toi pour voir le contenuC'est gratuit!
Accès à tous les documents
Améliore tes notes
Rejoins des millions d'étudiants
Étude complète d'un exemple
Prenons g(x) = |2x - 4| pour voir comment étudier une fonction avec valeur absolue. D'abord, tu dois déterminer quand l'expression à l'intérieur change de signe.
Ici, 2x - 4 = 0 quand x = 2. Donc : si x > 2, alors g(x) = 2x - 4. Si x ≤ 2, alors g(x) = - = -2x + 4.
📊 Méthode : Trouve d'abord le point critique (où l'expression s'annule), puis écris les deux expressions selon les intervalles.
Pour la dérivée : g'(x) = 2 si x > 2, et g'(x) = -2 si x < 2. En x = 2, elle n'est pas dérivable (d'où la double barre dans le tableau de variations).
Inscris-toi pour voir le contenuC'est gratuit!
Accès à tous les documents
Améliore tes notes
Rejoins des millions d'étudiants
Tableau de variations et représentation
Le tableau de variations de g(x) = |2x - 4| montre que g décroît sur ]-∞; 2[ puis croît sur ]2; +∞[. Le minimum est atteint en x = 2 avec g(2) = 0.
La représentation graphique donne une courbe en V dont le sommet est au point (2, 0). C'est comme la courbe de |x| mais décalée de 2 unités vers la droite.
🎯 Point clé : La double barre en x = 2 sur la ligne de g' indique la non-dérivabilité, mais g reste définie en ce point.
Cette méthode d'étude s'applique à toutes les fonctions contenant une valeur absolue : détermine les intervalles, écris les expressions correspondantes, puis étudie chaque morceau séparément.
Inscris-toi pour voir le contenuC'est gratuit!
Accès à tous les documents
Améliore tes notes
Rejoins des millions d'étudiants
Si on te demande...
Qu'est-ce que le compagnon IA de Knowunity ?
Notre compagnon IA est spécialement conçu pour répondre aux besoins des étudiants. Sur la base des millions d'éléments de contenu que nous avons sur la plateforme, nous pouvons fournir des réponses vraiment significatives et pertinentes aux étudiants. Mais il ne s'agit pas seulement de réponses, le compagnon a encore plus pour but de guider les élèves dans leurs défis d'apprentissage quotidiens, avec des plans d'étude personnalisés, des quiz ou des éléments de contenu dans le chat et une personnalisation à 100% basée sur les compétences et les développements de l'étudiant.
Où puis-je télécharger l'appli Knowunity ?
Tu peux télécharger l'application dans Google Play Store et dans l'App Store d'Apple.
L'application est-elle vraiment gratuite ?
Oui, tu as un accès entièrement gratuit à tous les contenus de l'appli, tu peux chatter ou suivre les créateurs à tout moment. De plus, nous proposons Knowunity Premium, qui te permet de réviser sans limites!
6
Outils Intelligents NOUVEAU
Transforme cette fiche en : ✓ 50+ Questions d'Entraînement ✓ Cartes Mémoire Interactives ✓ Examen blanc complet ✓ Plans de Dissertation
Examen blanc
Quiz
Flashcards
Dissertation
Contenus les plus populaires : Fonction Valeur Absolue
Contenus les plus populaires en Maths
Contenus les plus populaires
Rien ne te convient ? Explore d'autres matières.
Les étudiants nous adorent — il ne manque plus que toi.
4.6/5
App Store
4.7/5
Google Play
L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.
Stefan S
utilisateur iOS
Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.
Samantha Klich
utilisatrice Android
Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.
Anna
utilisatrice iOS
Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣
Thomas R
utilisateur d' Android
super application pour réviser je révise tout les soirs
Esteban M
utilisateur d'Android
Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment
Leny
utilisateur d'Android
L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !
Sudenaz Ocak
utilisateur Android
Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.
Greenlight Bonnie
utilisateur Android
PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰
Khady
utilisatrice d'Android
Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!
Claire
utilisatrice iOS
LES QUIZ ET CARTES MÉMOIRE SONT TROP UTILES ET J'ADORE Knowunity IA. C'EST LITTÉRALEMENT COMME CHATGPT MAIS EN PLUS INTELLIGENT !! ÇA M'A AIDÉ AVEC MES PROBLÈMES DE MASCARA AUSSI !! AINSI QUE MES VRAIES MATIÈRES ! ÉVIDEMMENT 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Raoul
utilisateur IOS
Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands
Ella
utilisatrice iOS
L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.
Stefan S
utilisateur iOS
Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.
Samantha Klich
utilisatrice Android
Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.
Anna
utilisatrice iOS
Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣
Thomas R
utilisateur d' Android
super application pour réviser je révise tout les soirs
Esteban M
utilisateur d'Android
Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment
Leny
utilisateur d'Android
L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !
Sudenaz Ocak
utilisateur Android
Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.
Greenlight Bonnie
utilisateur Android
PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰
Khady
utilisatrice d'Android
Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!
Claire
utilisatrice iOS
LES QUIZ ET CARTES MÉMOIRE SONT TROP UTILES ET J'ADORE Knowunity IA. C'EST LITTÉRALEMENT COMME CHATGPT MAIS EN PLUS INTELLIGENT !! ÇA M'A AIDÉ AVEC MES PROBLÈMES DE MASCARA AUSSI !! AINSI QUE MES VRAIES MATIÈRES ! ÉVIDEMMENT 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Raoul
utilisateur IOS
Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands
Ella
utilisatrice iOS