Mathématiques

Continuité et Discontinuités des Fonctions

continuité

150

•

Mis à jour Mar 9, 2026

•

5 pages

Limites et Continuité : Révise Facilement ce Chapitre pour Tes Devoirs

Fabienne Demba

@abienneemba_vcxmltxp

Tu vas bosser sur les limites et la continuité, deux... Affiche plus

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Calcul de limites - Exercices 1 et 2

Les limites te permettent de comprendre comment se comporte une fonction quand x s'approche d'une valeur particulière. Dans l'exercice 1, tu vas t'entraîner sur des cas classiques comme les formes indéterminées du type 0/0.

Pour résoudre $\frac{x^3-8}{x-2}$ quand x tend vers 2, pense à factoriser le numérateur ! Tu obtiendras $(x-2)(x^2+2x+4)$ au numérateur, ce qui te permettra de simplifier.

L'exercice 2 te propose une série intensive de calculs avec des limites en l'infini et des limites de fonctions rationnelles. Retiens cette règle d'or : pour les fractions rationnelles à l'infini, seuls les termes de plus haut degré comptent vraiment.

💡 Astuce pratique : Quand tu vois des racines dans tes limites, pense souvent à multiplier par la quantité conjuguée !

Limites avancées et fonctions trigonométriques - Exercices 3 et 4

L'exercice 3 te demande de calculer les limites aux bornes du domaine de définition. C'est crucial car ça te donne des infos sur les asymptotes de ta fonction !

L'exercice 4 introduit les limites trigonométriques. Tu dois absolument connaître cette limite fondamentale : $\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ . Elle te servira de base pour résoudre toutes les autres !

Pour $\frac{\sin 3x}{2x}$ , réécris-la sous la forme $\frac{3}{2} \times \frac{\sin 3x}{3x}$ puis pose u = 3x. Tu retrouveras alors la limite de référence.

💡 Technique clé : Avec les fonctions trigonométriques, essaie toujours de te ramener à la forme $\frac{\sin u}{u}$ !

Continuité des fonctions - Exercices 5 et 6

Une fonction est continue en un point si elle n'a pas de "saut" à cet endroit. Pour vérifier la continuité, tu dois t'assurer que $\lim_{x\to a} f(x) = f(a)$ .

Dans l'exercice 5, attention aux valeurs absolues ! Pour $\frac{|x(x-1)|}{(x-1)(x+1)}$ , tu dois étudier le signe de $x(x-1)$ pour enlever les barres de valeur absolue correctement.

L'exercice 6 traite des fonctions définies par morceaux. Pour étudier la continuité en $x_0 = \frac{3}{2}$ , calcule les limites à gauche et à droite, puis compare avec $f(\frac{3}{2})$ .

💡 Point important : Une fonction est continue si les "morceaux" se raccordent parfaitement aux points de jonction !

Continuité avancée et asymptotes - Exercices 7 à 14

Les exercices 7 à 10 te font travailler sur le prolongement par continuité. C'est quand tu peux "boucher un trou" dans une fonction en définissant astucieusement sa valeur en un point problématique.

Les exercices 11 à 14 introduisent les asymptotes : verticales, horizontales et obliques. Pour une fonction rationnelle $\frac{P(x)}{Q(x)}$ , les asymptotes verticales correspondent aux zéros du dénominateur.

Pour trouver une asymptote oblique y = ax + b, calcule $a = \lim_{x\to\infty} \frac{f(x)}{x}$ puis $b = \lim_{x\to\infty} [f(x) - ax]$ .

L'exercice 12 avec $f(x) = \sqrt{9x^2 + 6x + 5}$ est un classique ! Tu vas découvrir que cette fonction a deux asymptotes obliques différentes selon que x tend vers +∞ ou -∞.

💡 Méthode efficace : Pour les asymptotes obliques, effectue toujours la division euclidienne du numérateur par le dénominateur !

Asymptotes et synthèse - Exercice 15

L'exercice final combine continuité et asymptotes sur une fonction définie par morceaux. C'est le type d'exercice qu'on retrouve souvent au bac !

Pour la partie $f(x) = \sqrt{x^2+3} + ax$ , tu dois déterminer la valeur de a qui assure la continuité en x = 1. Calcule les limites à gauche et à droite, puis égalise-les.

La recherche d'asymptotes pour $\sqrt{x^2+3} - 3x$ nécessite une technique spéciale : multiplie par la quantité conjuguée $\frac{\sqrt{x^2+3} + 3x}{\sqrt{x^2+3} + 3x}$ pour lever l'indétermination.

Cette fonction a une asymptote oblique d'équation y = -2x quand x tend vers +∞, mais le comportement est différent en -∞.

💡 Conseil final : Les exercices de synthèse demandent de combiner plusieurs techniques. Prends ton temps pour identifier la bonne méthode à chaque étape !

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