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La multiplication et la division sont des opérations mathématiques fondamentales. La multiplication consiste à additionner un nombre plusieurs fois, tandis que la division permet de partager équitablement une quantité. Ces opérations sont essentielles pour résoudre de nombreux problèmes mathématiques et de la vie quotidienne. Ce chapitre explore en détail les concepts, techniques et propriétés liés à la multiplication et à la division des nombres entiers et décimaux.

15/02/2023

1557

Chapitre 7: Multiplication et division
I. Multiplication
1. Vocabulaire
Définitions
Le résultat d'une multiplication s'appelle un produit.
L

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Division euclidienne

La division euclidienne est une opération fondamentale en mathématiques, particulièrement utile pour partager équitablement des quantités.

Definition: Dans une division euclidienne, on cherche à exprimer le dividende sous la forme : dividende = diviseur x quotient + reste, où le reste est toujours inférieur au diviseur.

Exemple: Dans la division de 95 par 4, on a : 95 = 4 x 23 + 3

Highlight: Les parties de la division sont le dividende, le diviseur, le quotient et le reste.

Cette section introduit également le concept de divisibilité.

Definition: Un nombre a est divisible par un nombre b si la division de a par b donne un reste nul.

Exemple: 20 est divisible par 4 car 20 = 4 x 5 + 0

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Multiplication par un nombre décimal

Cette section aborde la multiplication à virgule, une compétence essentielle pour les élèves du CM1 à la 6ème.

Pour multiplier deux nombres décimaux, on procède comme suit :

On pose la multiplication normalement, sans tenir compte des virgules.
On compte le nombre total de chiffres après la virgule dans les deux facteurs.
On place la virgule dans le résultat en comptant ce même nombre de chiffres à partir de la droite.

Exemple: Pour poser une multiplication à virgule comme 5,22 x 3,6 = 18,792, on compte 3 chiffres après la virgule au total.

Highlight: Multiplier par 0,1 revient à diviser par 10, et multiplier par 0,01 revient à diviser par 100.

Exemple: 480 x 0,1 = 48 ; 0,68 x 0,1 = 0,068 ; 244 x 0,5 = 122

Cette méthode facile pour apprendre les multiplications à virgule est particulièrement utile pour les élèves de CM2 et 6ème.

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Division décimale

La division décimale est une extension de la division euclidienne qui permet d'obtenir un quotient décimal.

Definition: Une division décimale consiste à diviser un nombre par un autre en obtenant un quotient avec une partie décimale.

Exemple: Dans la division de 55 par 4, on obtient 13,75 comme quotient décimal.

Highlight: La méthode facile pour apprendre les divisions décimales consiste à ajouter des zéros après la virgule du dividende pour continuer la division jusqu'à obtenir le nombre de décimales souhaitées.

Cette compétence est essentielle pour résoudre de nombreux problèmes mathématiques et de la vie courante, notamment dans les situations de partage ou de conversion d'unités.

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Priorité des opérations

La compréhension de la priorité des opérations est cruciale pour effectuer correctement des calculs complexes.

Definition: La multiplication est prioritaire sur l'addition et la soustraction. On doit toujours effectuer d'abord la multiplication puis l'addition ou la soustraction.

Exemple: 46 + 3 x 10 = 46 + 30 = 76

Highlight: Entre la multiplication et la division qui est prioritaire ? Ces deux opérations ont le même niveau de priorité et s'effectuent de gauche à droite en l'absence de parenthèses.

Cette section aborde également les conversions de durées, une application pratique des multiplications.

Exemple: Pour convertir 3 h en secondes : 3 x 60 x 60 = 10800 s

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Critères de divisibilité

Les critères de divisibilité sont des règles qui permettent de déterminer rapidement si un nombre est divisible par un autre sans effectuer la division.

Highlight: Voici quelques règles de priorité des opérations importantes :

Un nombre est divisible par 2 si son chiffre des unités est pair (0, 2, 4, 6, 8)

Un nombre est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5

Un nombre est divisible par 10 si son chiffre des unités est 0

Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3

Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9

Un nombre est divisible par 4 si ses deux derniers chiffres forment un nombre divisible par 4

Exemple: 345 est divisible par 3 car 3 + 4 + 5 = 12, et 12 est divisible par 3

Ces critères sont particulièrement utiles pour simplifier des fractions ou factoriser des expressions algébriques.

Voir

Multiplication

La multiplication est une opération mathématique fondamentale. Ce chapitre introduit le vocabulaire essentiel et les techniques de base pour effectuer des multiplications.

Vocabulaire: Le résultat d'une multiplication s'appelle un produit. Les nombres que l'on multiplie s'appellent des facteurs.

Exemple: Dans 7 x 5 = 35, 35 est le produit des facteurs 7 et 5.

La distributivité simple est une propriété importante de la multiplication. Elle permet de simplifier certains calculs en décomposant un des facteurs.

Exemple: 13 x 7 + 13 x 3 = 13 x 10 = 130

Pour multiplier par 10, 100 ou 1000, il suffit de décaler la virgule vers la droite d'un, deux ou trois rangs respectivement.

Highlight: La technique de division rapide par 10, 100 ou 1000 consiste à déplacer la virgule vers la gauche.

Exemple: 63 x 100 = 6300 ; 8,9 x 10 = 89 ; 0,02 x 1000 = 20

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La division euclidienne est une opération fondamentale en mathématiques, particulièrement utile pour partager équitablement des quantités.

Definition: Dans une division euclidienne, on cherche à exprimer le dividende sous la forme : dividende = diviseur x quotient + reste, où le reste est toujours inférieur au diviseur.

Exemple: Dans la division de 95 par 4, on a : 95 = 4 x 23 + 3

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Multiplication par un nombre décimal

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Exemple: 46 + 3 x 10 = 46 + 30 = 76

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Un nombre est divisible par 2 si son chiffre des unités est pair (0, 2, 4, 6, 8)

Un nombre est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5

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Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9

Un nombre est divisible par 4 si ses deux derniers chiffres forment un nombre divisible par 4

Exemple: 345 est divisible par 3 car 3 + 4 + 5 = 12, et 12 est divisible par 3

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Multiplication

La multiplication est une opération mathématique fondamentale. Ce chapitre introduit le vocabulaire essentiel et les techniques de base pour effectuer des multiplications.

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Exemple: Dans 7 x 5 = 35, 35 est le produit des facteurs 7 et 5.

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Exemple: 63 x 100 = 6300 ; 8,9 x 10 = 89 ; 0,02 x 1000 = 20

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