Définition et propriétés des nombres premiers

Les nombres premiers sont au cœur de la théorie des nombres et possèdent des propriétés uniques. Cette page explore leur définition et leurs caractéristiques essentielles.

Les nombres premiers sont définis comme des entiers naturels supérieurs à 1 qui n'ont que deux diviseurs : 1 et eux-mêmes. Ils jouent un rôle crucial dans la décomposition des nombres entiers.

Highlight: Tous les nombres entiers non premiers se décomposent en produits de facteurs premiers.

Cette propriété est fondamentale en arithmétique et sert de base à de nombreux concepts mathématiques avancés.

Example: Les nombres premiers incluent 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23.

Il est important de noter que, à l'exception du 2, tous les nombres premiers sont impairs. Cependant, la réciproque n'est pas vraie : tous les nombres impairs ne sont pas premiers.

Vocabulary: PGCD - Plus Grand Commun Diviseur

Le PGCD est un concept essentiel dans l'étude des relations entre les nombres. Pour calculer le PGCD de deux nombres, on conserve les facteurs premiers communs avec la plus petite puissance.

Example: Pour 12 = 2² x 3 et 20 = 2² x 5, le PGCD(12, 20) = 2² = 4

Un concept lié au PGCD est celui des nombres premiers entre eux. Deux nombres sont dits premiers entre eux si leur PGCD est égal à 1.

Definition: Deux nombres a et b sont premiers entre eux si PGCD(a,b) = 1.

Cette notion est cruciale dans de nombreux domaines des mathématiques, notamment en théorie des nombres et en cryptographie.