Applications du théorème de Thalès et sa réciproque
Calculer une longueur avec le théorème de Thalès
Pour utiliser le théorème de Thalès et calculer une longueur inconnue :
- Vérifier les conditions d'application du théorème
- Écrire les rapports égaux
- Remplacer par les longueurs connues
- Utiliser le produit en croix pour calculer la longueur manquante
Méthode : Dans les exercices corrigés du théorème de Thalès, on commence toujours par identifier la configuration deuxdroitesseˊcantescoupeˊespardeuxparalleˋles avant d'appliquer la formule.
Démontrer que des droites sont parallèles
La réciproque du théorème de Thalès
Soit deux droites D et D' sécantes en A, avec B et M deux points de D distincts de A, et C et N deux points de D' distincts de A.
Si ABAM=ACAN et si les points A, B, M d'une part, et A, C, N d'autre part sont alignés dans cet ordre, alors les droites BC et MN sont parallèles.
Méthodes pour démontrer le parallélisme
Pour démontrer que deux droites sont parallèles, on peut :
- Utiliser la réciproque du théorème de Thalès
- Démontrer que les deux droites définissent deux angles alternes-internes égaux
Astuce : Dans un exercice de réciproque de Thalès, vérifiez bien l'ordre des points alignés, car c'est une condition essentielle pour appliquer correctement le théorème.
Application dans l'espace
Utiliser le théorème de Thalès dans l'espace
On peut retrouver une configuration de Thalès dans un solide coupé par un plan parallèle ou perpendiculaire à la base.
Utiliser la réciproque dans l'espace
Pour démontrer que deux droites sont parallèles dans l'espace :
- Appliquer la réciproque du théorème de Thalès à deux droites sécantes
- Calculer deux rapports qui doivent être égaux
- Vérifier la position des points
Propriété importante : La démonstration du théorème de Thalès en 3ème peut s'étendre à des figures de l'espace, ce qui permet de résoudre des problèmes plus complexes impliquant des pyramides ou des prismes.
