Mathématiques

Équations et Représentations Linéaires

Équation Linéaire

442

•

Mis à jour Mar 12, 2026

•

4 pages

Synthèse sur les Équations Mathématiques

RISKOLO

@riskolo_rklm

Tu vas enfin maîtriser les équations de droites ! Ce... Affiche plus

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$# Synthèse équation de droites Relations à connaitre $ax+by+c=0$ s'appelle équation cartésienne de la droite (d) $ \overrightarrow{u}\bino$

Les équations de droites : cartésienne et réduite

Tu as besoin de connaître deux types d'équations pour décrire une droite. L'équation cartésienne s'écrit sous la forme $ax+by+c=0$ et possède une infinité de formes équivalentes. Le vecteur directeur correspondant est $\overrightarrow{u}\binom{-b}{a}$ .

L'équation réduite est unique et dépend de l'orientation de ta droite. Pour une droite non verticale, elle s'écrit $y = mx + p$ où m est le coefficient directeur et p l'ordonnée à l'origine.

Si ta droite passe par deux points $A(x_A; y_A)$ et $B(x_B; y_B)$ , tu calcules facilement : $m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ et $p = y_A - mx_A$ . Pour une droite verticale, c'est encore plus simple : $x = c$ où c est l'abscisse constante de tous les points.

Astuce : Retiens que l'équation réduite te donne directement la pente (coefficient directeur) et le point où la droite coupe l'axe des ordonnées !

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Méthodes pour tracer et trouver les équations

Tracer une droite, c'est facile ! Avec deux points, tu les places et tu traces. Avec un point et un vecteur directeur, tu places le premier point puis tu utilises les coordonnées du vecteur pour trouver le second.

Pour obtenir une équation cartésienne, pars du vecteur directeur $\overrightarrow{AB}\binom{a}{b}$ . Tu écris alors $bx - ay + c = 0$ et tu trouves c en remplaçant par les coordonnées d'un point connu. N'hésite pas à multiplier toute l'équation par un nombre pour éliminer les fractions !

Avec deux points $A(1; 3)$ et $B(3; -2)$ , tu obtiens $\overrightarrow{AB}\binom{2}{-5}$ , donc l'équation devient $-5x - 2y + c = 0$ . En remplaçant A, tu trouves $c = 11$ , soit $-5x - 2y + 11 = 0$ .

Bon à savoir : Multiplier une équation cartésienne par un nombre non nul te donne une équation équivalente qui décrit la même droite !

$# Synthèse équation de droites Relations à connaitre $ax+by+c=0$ s'appelle équation cartésienne de la droite (d) $ \overrightarrow{u}\bino$

Équations réduites et tracé à partir d'une équation

Pour l'équation réduite, utilise les formules directes. Avec les points $A(1; 3)$ et $B(3; -2)$ : $m = \frac{-2-3}{3-1} = -\frac{5}{2}$ et $p = 3 - (-\frac{5}{2}) \times 1 = \frac{11}{2}$ . Tu obtiens $y = -\frac{5}{2}x + \frac{11}{2}$ .

Tracer à partir d'une équation demande juste de trouver deux points. Choisis des valeurs simples pour x (ou y) et calcule l'autre coordonnée. Avec $x + 2y - 3 = 0$ , si $y = 0$ alors $x = 3$ , si $x = 1$ alors $y = 1$ .

Pour une équation réduite comme $y = \frac{2}{3}x + 1$ , tu peux aussi utiliser le coefficient directeur : à partir d'un point, tu avances de 3 sur les x et de 2 sur les y pour trouver le suivant.

Technique : Le coefficient directeur $\frac{2}{3}$ signifie "+2 en y quand +3 en x" - super pratique pour tracer rapidement !

$# Synthèse équation de droites Relations à connaitre $ax+by+c=0$ s'appelle équation cartésienne de la droite (d) $ \overrightarrow{u}\bino$

Points d'intersection et propriétés des droites

Pour trouver le point d'intersection de deux droites, résous le système d'équations. Avec des équations cartésiennes, additionne-les intelligemment pour éliminer une variable. Avec des équations réduites, égalise-les directement.

Exemple : $y = 2x + 3$ et $y = 3x + 1$ donnent $2x + 3 = 3x + 1 $, soit$ x = 2 $et$ y = 7 $. Le point d'intersection est$ (2; 7)$.

Les droites parallèles ont le même coefficient directeur (équations réduites) ou des vecteurs directeurs colinéaires (équations cartésiennes). Si les équations sont identiques, les droites sont confondues. Sinon, elles sont sécantes.

Méthode gagnante : Face aux fractions dans les équations réduites, transforme en équations cartésiennes - les calculs seront plus nets !

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