Les propriétés des triangles égaux et semblables sont des concepts géométriques fondamentaux qui permettent de comprendre les relations entre les triangles.
Les triangles égaux ont exactement les mêmes dimensions - leurs côtés et leurs angles sont identiques. Pour prouver que deux triangles sont égaux, il faut démontrer qu'ils partagent trois éléments correspondants, comme trois côtés égaux (critère CCC) ou deux côtés et l'angle compris entre eux (critère CAC). Les triangles égaux peuvent être superposés parfaitement l'un sur l'autre.
Pour prouver que des triangles sont semblables, il faut montrer qu'ils ont la même forme mais pas nécessairement la même taille. Les triangles semblables ont des angles correspondants égaux et des côtés proportionnels. On peut utiliser plusieurs critères comme deux angles égaux (critère AA) ou deux côtés proportionnels avec l'angle compris égal (critère SAS). Les différences entre triangles égaux et semblables sont importantes à comprendre : les triangles égaux sont identiques en tous points, alors que les triangles semblables conservent uniquement les mêmes proportions et angles. Par exemple, si on agrandit ou rétrécit un triangle tout en gardant ses angles, on obtient un triangle semblable mais non égal au triangle initial. Cette propriété est très utile dans de nombreuses applications pratiques comme la cartographie ou l'architecture, où l'on doit souvent travailler avec des représentations à l'échelle d'objets réels.
Les triangles semblables suivent également des règles de proportionnalité importantes : le rapport entre les côtés correspondants est constant, et les aires des triangles semblables sont proportionnelles au carré de ce rapport. Ces propriétés permettent de résoudre de nombreux problèmes géométriques et de calculer des distances inaccessibles en utilisant la similitude des triangles.
