Cinématique du point

Légende alternative :

le mouvement d'un objet ponctuel est caractérisé par sa trajectoire et sa vitesse. Référentiel géocentrique E Vecteur position: La position d'un point mobile M à un instant t est donnée par son vecteur position OM : OM (t) {x(t). ly(t)* Les coordonnées de M dans le référentiel choisi avec son repère orthonormé et son repère de temps sont : M 1(x88). Les expressions de x et y en fonction du temps sont appelées les équations horaires de la position. Vecteur vitesse : Il s'agit de la dérivée temporelle du vecteur Vx position: VM(t) = ou VM (t) dom dt Il a pour composantes V₂ et V₂ : VM(O) (V₂). Vy: Dès lors que le vecteur position varie au cours du temps, il y a l'existence d'un vecteur vitesse. Celui- ci décrit les variations du vecteur position au cours du temps. Le vecteur vitesse peut s'écrire dans le repère choisi : VM(t)=√x + V₂ = V₂ i + Vy • j. Vy ||₁|| = ||MAMB||_ || MAMB|| ||MÄMB|| = T tв - tA = Exemple: Ici, on a : V5 = M5 M6 T où t = t6 - t5. dx dt dy dt et V et pour coordonnées = у V Caractéristiques du vecteur vitesse : - Son point d'application : le point M. - Sa direction : celle de la tangente à la trajectoire au point M. Son sens : celui du mouvement. y it 0 OM(t) y(t) -1 2 2 - Sa norme : valeur de la vitesse instantanée en m. s¯¹ : ||V|| = V = |V₂ ² + V₂² OM (t) M(t) M(t) M4 Détermination et représentation graphique du vecteur vitesse : Pour calculer la vitesse instantanée en un point M₁, on mesure la distance entre M₁ et MB (deux points consécutifs), puis, ramenée à l'échelle de représentation des distances, on la divise par l'intervalle de temps τ entre deux positions successives du point : X M(t) x(t) On représente ensuite le vecteur vitesse VA partant de M₁, tangent à la trajectoire, dans le sens du mouvement et de longueur V₁, basée sur l'échelle de représentation des vitesses donnée ou préalablement établie. M5 X Tangente à la trajectoire au point M(t) M6 Sens du mouvement Vecteur accélération : Dès lors que le vecteur vitesse varie (en valeur et/ou en direction) au cours du temps, il y a l'existence d'un vecteur accélération. Celui-ci décrit les variations du vecteur vitesse au cours du temps. dVM Il s'agit de la dérivée temporelle du vecteur vitesse : à = donc de la dérivée seconde du vecteur position : a = ou : dt d²OM dt² dVx d²x dt dt² dV₂ d²y dt dt² Le vecteur accélération peut s'écrire dans le repère choisi : ả ấy tẩy = ax tay j. = - Caractéristiques du vecteur accélération : - Son point d'application : le point M. - Sa direction : celle du vecteur variation de vitesse. - Son sens : celui du vecteur variation de vitesse. Il a pour composantes āx et ay et pour coordonnées ax et ay : à (az). - Sa norme en m. s ||à || a4 = Exemple: Ici, on a : = -2 AV4-3 T où : t = t4 - t3. : ||a|| = α = ||AVB-A|| _ ||VB|| - ||VA|| T tв - tA ❖ Détermination et représentation graphique du vecteur accélération : Pour calculer l'accélération en un point M₁, on détermine la variation de vitesse AVB-A entre M₁ et MB (deux points consécutifs), puis on la divise par l'intervalle de temps τ entre deux positions successives du point : et √[ax² + α₂ ² 2 2 αχ Y On représente ensuite le vecteur accélération à partant de MÃ, ayant pour direction et sens ceux du vecteur variation de vitesse AVB-A, de longueur a, basée sur l'échelle de représentation de l'accélération donnée ou préalablement établie. IL OT M₁ (AV) 3+4 M₂ M3 MA M(t) V3 = Remarque : ax est le coefficient directeur de la tangente à la courbe Vx considérée. Il en est de même pour a, et la tangente à la courbe V₂ = g(t). X ã4 Sens du mouvement NB : on aurait pu prendre les points M5 et M4 à condition de reporter le vecteur v5 sur le point M4 pour tracer le vecteur variation de vitesse. f(t) tracée à la date t Avertissement : il est important lors des exercices proposés de faire preuve de rigueur et de bien considérer les échelles données (distances, vitesses et accélérations). Les bases de première et de seconde sont à maîtrisées notamment pour ce qui est des translations de vecteurs. Différents mouvements : • Un mouvement est rectiligne lorsque sa trajectoire est une droite. • Un mouvement est circulaire lorsque sa trajectoire est une portion de cercle. • Un mouvement est uniforme lorsque la valeur de la vitesse est constante. • Un mouvement est uniformément varié (accéléré ou ralenti) lorsque la valeur de l'accélération est constante. Mouvements rectilignes : Soit k E R une constante. Schéma Mouvements circulaires : + O ↑ N M X Pour étudier les mouvements circulaires, on utilise un repère particulier : le repère de Frenet, qui est mobile. = Mouvement Rectiligne uniforme Rectiligne uniformément dv dt Rectiligne uniformément accéléré ralenti R Vecteur accélération t, vecteur tangentiel: vecteur unitaire tangent à la trajectoire au point M et orienté dans le sens du mouvement. ▪ Vecteur vitesse : V = V(t)ť ; le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire en M. ▪ Vecteur accélération : a = at + an ·ñ. n, vecteur normal : vecteur unitaire orthogonal à ₹ et orienté vers l'intérieur de la trajectoire (centre du cercle lorsque le mouvement est circulaire). a = k a = k *Opposé au mouvement. ▪ Vecteur position: OM = −Rñ; ñ est colinéaire au vecteur position mais de sens contraire et R est le rayon du cercle. a = 0 Cas particulier d'un mouvement circulaire uniforme : dv dt La norme du vecteur vitesse étant constante, -t = 0, l'accélération tangentielle est donc nulle ||āè|| = 0. Il ne reste donc : a = n V² R Le vecteur accélération est orienté vers le centre du cercle : on dit que l'accélération est centripète. v(t) 0. t M(t) ñ ā(t)