Correction_ECE_Masse de Jupiter V1

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MISES À DISPOSITION DU CANDIDAT ● Session 2022 Cette vidéo présente l'enregistrement établi par la sonde Juno lors de son approche de Jupiter pendant un peu plus de neuf jours. Le mouvement des quatre principaux satellites de Jupiter y est visible. lo est le satellite le plus proche de Jupiter. À la première image de la vidéo, lo est le seul satellite à gauche de Jupiter à l'image. Dans la suite de ce sujet, on étudiera uniquement le mouvement du satellite lo. constante de gravitation universelle: G= 6,67x10-11 USI diamètre équatorial de Jupiter : déquatorial = 1,43x108 m diamètre polaire (ou vertical) de Jupiter : dpolaire = 1,34x108 m Page 1 sur 5 Positions respectives de la planète Jupiter, de quatre satellites et de Juno : La sonde Juno s'approche selon une trajectoire faiblement inclinée par rapport au plan équatorial de Jupiter qui contient les trajectoires de ses quatre principaux satellites. Sur la figure ci-dessous les dimensions des trajectoires des satellites et la taille de Jupiter sont à la même échelle. MASSE DE JUPITER Version A Europe Approximations à considérer : Jo. En se plaçant dans un repère plan orthonormé (Jxy) centré sur Jupiter, les coordonnées x et y du satellite lo ont été extraites des images de la vidéo, régulièrement dans le temps et sans interruption. ● Ganymède Ces coordonnées ont été corrigées de manière à compenser l'effet de la diminution de la distance Juno-Jupiter lors de l'approche de la sonde. ● piter La distance Jupiter-lo est constante mais la trajectoire de lo projetée dans ce repère (Jxy) a la forme d'une ellipse aplatie. Remarque : le relevé des positions du satellite lo dans ce repère au cours du temps se trouve dans le fichier « positions-lo >> La distance entre Jupiter et lo est considérée constante au cours du temps. Le plan de l'orbite de lo étant peu incliné, on considérera que le mouvement de lo dans le repère (Jxy) se fait uniquement suivant l'axe Jx. Callisto Jupiter J y y Session 2022 J X Page 2 sur 5 MASSE DE JUPITER Version A Troisième loi de Kepler : Pour tout satellite gravitant autour d'une planète, dans l'approximation des trajectoires circulaires, le rapport entre le carré de la période de révolution T du satellite et le cube du rayon de l'orbite r est égal à une constante dépendant de la masse de la planète Mplanète autour de laquelle gravite le satellite, selon la formule : 7² 4.TT² avec Tens, ren m, Mplanète en kg et G en unité du système international (USI) 3G-Mplanète TRAVAIL À EFFECTUER 1. Une première méthode de détermination de la masse de Jupiter (30 minutes conseillées) Le logiciel de pointage permet de faire défiler les images d'une vidéo une par une et de repérer la position d'un système et l'instant associé. La vidéo a été accélérée, sa durée est de 60 secondes alors que la durée totale réelle de la vidéo est de 9,57 jours. 1.1 Visualiser la vidéo « mouvement-satellites » sur le logiciel de pointage puis proposer une méthode pour déterminer la période de révolution T du satellite lo autour de Jupiter, sans pointage complet des positions successives de lo. Regarder la vidéo Suivre lo (satellite naturel le plus proche de Jupiter) Relever la durée nécessaire pour effectuer le tour de Jupiter par lo. En déduire la période de révolution sachant que T = Durée d'un tour (en s) 60 s APPEL n°1 Appeler le professeur pour lui présenter la méthode ou en cas de difficulté Session 2022 x 9,57 X (en jour) 11 T = 9,57 ≈ 1,76 J 60 1.2 Mettre en œuvre la méthode. Noter vos résultats et en déduire la valeur de la période T du satellite lo autour de Jupiter. APPEL n°2 1.3 Proposer maintenant une méthode pour déterminer le rayon r de l'orbite de lo autour de Jupiter. ATTENTION !!! On ne peut pas utiliser la première image de l'énoncé car les échelles réelles ne sont pas respectées. Faire la capture d'écran de la demi-orbite du côté droit quand lo se trouve à l'apoastre de la vidéo (en réalité il n'y a pas d'apoastre puisque la trajectoire est quasi circulaire) Mesure le rayon équatorial de Jupiter sur la capture et en déduire l'échelle de la capture d'écran Mesurer le rayon sur la capture d'écran et en déduire le rayon réel. Appeler le professeur pour lui présenter la méthode ou en cas de difficulté m 1.4 Mettre en œuvre la méthode proposée. Noter vos mesures et en déduire le rayon r de l'orbite d'lo autour de Jupiter. Page 3 sur 5 2,2 cm On prend une capture d'écran (imprimer si nécessaire) Comme : RJ Capture = 2,4 cm et R₁ = 7,15 × 107 m L'échelle est donc : 7,15x107 3,3 x 107m. cm-1 2.2 D'où: r = 12,6 x 3,3 x 107 = 4,2 x 10³ m = 1.5 Déduire des mesures précédentes et d'un calcul la valeur de la masse MJ₁ de Jupiter. Comme : D'après la troisième loi de Kepler : 4.TT²,-3 47²x(4,2x108)3 ⇒M₁1 G.T2 6,67 x10-11x(1,76x24x60X60)² 4.TT² = 1,90 × 1027 kg G-MJ1 2. Une deuxième méthode de détermination de la masse de Jupiter (20 minutes conseillées) 2.1 En exploitant le fichier « positions-lo» des positions du satellite lo au cours du temps à l'aide d'un tableur- grapheur, déterminer la période de révolution T de lo autour de Jupiter et le rayon r de son orbite. Expliciter la démarche mise en œuvre. 0,6000 Comme on considère que le mouvement de lo dans le repère (Jxy) se fait uniquement suivant l'axe Jx, représentons x en fonction de t: 0,4000 MASSE DE JUPITER Version A 0,2000 EMMA 2,00 6,00 0,0000 -0,2000 0,00 12,6 cm -0,4000 -0,6000 x = f(t) Conservons une seule période (un seul motif): ten s 8,00 Session 2022 10,00 12,00 Page 4 sur 5 x (10^6 km) 0,6000 → M1₂ G-M1₂ 0,4000 0,2000 0,0000 +0,23 x -0,2000 -0,4000 -0,6000 0,27 MASSE DE JUPITER Version A x = f(t) ten s APPEL n°3 Comme on remarque que le sommet de la fonction vaut x = 0,4537 x 106 km, correspondant à l'apoastre (Remarque : le périastre est à la même distance, négative sur le graphique, mais il n'est pas visible) de l'orbite aplatie on en déduit que le rayon de l'orbite vaut 4, 537 × 105 km La période de l'orbite est 1,77 jour. 4-T7²,3 47²x(4,537x108)³ G.T2 6,67 x10-11x(1,77x24x60X60)² x= 0,4537 1,27 2.2 Déduire de vos résultats et d'un calcul la valeur de la masse M2 de Jupiter. T² 4.TT² Appeler le professeur pour lui présenter la démarche mise en œuvre ainsi que les résultats obtenus. ≈2,39 x 1027 kg 3. Comparaison des résultats (10 minutes conseillées) La valeur connue de la masse de Jupiter est MJ = 1,90x10²7 kg. 3.1. Comparer les valeurs MJ₁ et M2 avec la valeur connue. Conclure. 1,77 Session 2022 m M₁₁ = M₁ et M₁₂ > Mj Il semble que la première méthode soit plus précise que la deuxième. Or la première est pourtant sources de plusieurs incertitudes dues aux mesures manuelles. De ce fait on ne peut pas donner de conclusion véritablement convaincante. 3.2. Relever une source d'écart possible entre la valeur expérimentale et la valeur connue pour chacune des 2 méthodes. Chaque méthode apporte ses incertitudes Pour la première, des erreurs de mesures, de conversions, des confusions entre diamètre polaire et diamètre équatorial pourrait être sources d'écart, Pour la seconde, les données du tableur pourraient être issues d'un pointage mal étalonné et imprécis. Pour les deux méthodes, l'approximation de l'orbite en tant qu'orbite circulaire explique un léger écart. Défaire le montage et ranger la paillasse avant de quitter la salle. Page 5 sur 5