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Mis à jour Mar 15, 2026
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Introduction aux Nombres Réels - Partie 2
Mr.Aide
@t.legall42
1 / 6
Les intervalles de ℝ - Notations de base
Imagine que tu veux noter tous les nombres entre 2 et 4 inclus. Au lieu d'écrire une phrase, tu peux utiliser la notation [2; 4] ! C'est exactement ce qu'on appelle un intervalle.
Les crochets [ ] signifient que les bornes sont incluses dans l'intervalle. Par exemple, dans [-2; 7], les nombres -2 et 7 font partie de l'ensemble. Tu peux vérifier : 4 ∈ [-2; 7] et -1 ∈ [-2; 7], mais 8 ∉ [-2; 7].
💡 Astuce : Sur ta droite graduée, colorie la zone correspondant à ton intervalle. Ça t'aidera à visualiser !
Intervalles ouverts et fermés
Un intervalle fermé comme [-2; 5] inclut ses extrémités . Un intervalle ouvert comme ]2; 6[ les exclut complètement.
Regarde ce tableau super pratique : quand tu vois ≤ ou ≥, utilise des crochets []. Quand tu vois < ou >, utilise des crochets inversés ](. Pour l'infini (∞), tu uses toujours des crochets inversés car l'infini n'est jamais atteint !
Exemple concret : x ≥ 2 se note [2; +∞-∞; -1[.
💡 Astuce : L'ensemble ℝ entier peut s'écrire ]-∞; +∞[. Pratique, non ?
Applications aux inéquations
Résoudre une inéquation, c'est comme résoudre une équation, mais le résultat est un intervalle ! Prenons 2x - 3 < 4 : tu ajoutes 3 des deux côtés, puis tu divises par 2. Tu obtiens x < 7/2.
La solution est donc l'intervalle ]-∞; 7/2[. Tous les nombres de cet intervalle vérifient ton inéquation !
L'intersection (∩) de deux ensembles, c'est ce qu'ils ont en commun. La réunion (∪), c'est tout ce qui appartient à au moins l'un des deux.
💡 Astuce : Dessine toujours tes intervalles sur une droite graduée. Tu verras immédiatement où ils se chevauchent !
Intersections et réunions d'intervalles
Pour trouver I ∩ J, cherche la zone où les deux intervalles se superposent sur ta droite graduée. Pour I = [-1; 3] et J = ]0; 40; 3].
Pour la réunion I ∪ J, prends tout ce qui est colorié par au moins un des deux intervalles. Ici, I ∪ J = [-1; 4[.
Parfois, deux intervalles ne se touchent pas du tout, comme ]-∞; -1] et [1; 4]. Leur intersection est alors l'ensemble vide ∅.
💡 Astuce : Si deux intervalles ne se chevauchent pas, leur réunion s'écrit avec le symbole ∪ entre eux !
Valeur absolue d'un réel
La valeur absolue |x|, c'est simplement le nombre sans son signe ! |-5| = 5 et |5| = 5. Super simple !
L'astuce géniale : |a - b| représente la distance entre a et b sur une droite graduée. La distance entre 1,5 et 4 est |1,5 - 4| = 2,5.
Pour résoudre |x - 5| = 2, demande-toi : quels nombres sont à distance 2 du nombre 5 ? Réponse : 3 et 7 !
💡 Astuce : Dessine toujours la droite graduée avec le point de référence. Tu trouveras les solutions en comptant la distance !
Résoudre des inéquations avec valeurs absolues
Pour |x - 5| ≤ 2, tu cherches tous les nombres dont la distance au nombre 5 est inférieure ou égale à 2. Sur ta droite graduée, c'est tout l'intervalle [3; 7] !
La méthode est toujours la même : place ton point de référence (ici 5), reporte la distance de chaque côté (ici 2), et détermine l'intervalle selon le sens de l'inégalité.
Si c'était |x - 5| ≥ 2, tu aurais pris les nombres à l'extérieur : ]-∞; 3] ∪ [7; +∞[.
💡 Astuce : Avec ≤, tu prends l'intervalle "du milieu". Avec ≥, tu prends les deux intervalles "des extrémités" !
Si on te demande...
Qu'est-ce que le compagnon IA de Knowunity ?
Notre compagnon IA est spécialement conçu pour répondre aux besoins des étudiants. Sur la base des millions d'éléments de contenu que nous avons sur la plateforme, nous pouvons fournir des réponses vraiment significatives et pertinentes aux étudiants. Mais il ne s'agit pas seulement de réponses, le compagnon a encore plus pour but de guider les élèves dans leurs défis d'apprentissage quotidiens, avec des plans d'étude personnalisés, des quiz ou des éléments de contenu dans le chat et une personnalisation à 100% basée sur les compétences et les développements de l'étudiant.
Où puis-je télécharger l'appli Knowunity ?
Tu peux télécharger l'application dans Google Play Store et dans l'App Store d'Apple.
L'application est-elle vraiment gratuite ?
Oui, tu as un accès entièrement gratuit à tous les contenus de l'appli, tu peux chatter ou suivre les créateurs à tout moment. De plus, nous proposons Knowunity Premium, qui te permet de réviser sans limites!
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4.7/5
Google Play
L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.
Stefan S
utilisateur iOS
Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.
Samantha Klich
utilisatrice Android
Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.
Anna
utilisatrice iOS
Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣
Thomas R
utilisateur d' Android
super application pour réviser je révise tout les soirs
Esteban M
utilisateur d'Android
Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment
Leny
utilisateur d'Android
L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !
Sudenaz Ocak
utilisateur Android
Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.
Greenlight Bonnie
utilisateur Android
PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰
Khady
utilisatrice d'Android
Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!
Claire
utilisatrice iOS
LES QUIZ ET CARTES MÉMOIRE SONT TROP UTILES ET J'ADORE Knowunity IA. C'EST LITTÉRALEMENT COMME CHATGPT MAIS EN PLUS INTELLIGENT !! ÇA M'A AIDÉ AVEC MES PROBLÈMES DE MASCARA AUSSI !! AINSI QUE MES VRAIES MATIÈRES ! ÉVIDEMMENT 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Raoul
utilisateur IOS
Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands
Ella
utilisatrice iOS
L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.
Stefan S
utilisateur iOS
Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.
Samantha Klich
utilisatrice Android
Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.
Anna
utilisatrice iOS
Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣
Thomas R
utilisateur d' Android
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Esteban M
utilisateur d'Android
Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment
Leny
utilisateur d'Android
L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !
Sudenaz Ocak
utilisateur Android
Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.
Greenlight Bonnie
utilisateur Android
PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰
Khady
utilisatrice d'Android
Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!
Claire
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Raoul
utilisateur IOS
Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands
Ella
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Tu vas découvrir les nombres réels sous deux angles super pratiques : les intervalles et les valeurs absolues. Ces outils te serviront partout en maths, que ce soit pour résoudre des inéquations ou calculer des distances sur une droite graduée... Affiche plus
Les intervalles de ℝ - Notations de base
Imagine que tu veux noter tous les nombres entre 2 et 4 inclus. Au lieu d'écrire une phrase, tu peux utiliser la notation [2; 4] ! C'est exactement ce qu'on appelle un intervalle.
Les crochets [ ] signifient que les bornes sont incluses dans l'intervalle. Par exemple, dans [-2; 7], les nombres -2 et 7 font partie de l'ensemble. Tu peux vérifier : 4 ∈ [-2; 7] et -1 ∈ [-2; 7], mais 8 ∉ [-2; 7].
💡 Astuce : Sur ta droite graduée, colorie la zone correspondant à ton intervalle. Ça t'aidera à visualiser !
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Un intervalle fermé comme [-2; 5] inclut ses extrémités . Un intervalle ouvert comme ]2; 6[ les exclut complètement.
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Exemple concret : x ≥ 2 se note [2; +∞-∞; -1[.
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Résoudre une inéquation, c'est comme résoudre une équation, mais le résultat est un intervalle ! Prenons 2x - 3 < 4 : tu ajoutes 3 des deux côtés, puis tu divises par 2. Tu obtiens x < 7/2.
La solution est donc l'intervalle ]-∞; 7/2[. Tous les nombres de cet intervalle vérifient ton inéquation !
L'intersection (∩) de deux ensembles, c'est ce qu'ils ont en commun. La réunion (∪), c'est tout ce qui appartient à au moins l'un des deux.
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Intersections et réunions d'intervalles
Pour trouver I ∩ J, cherche la zone où les deux intervalles se superposent sur ta droite graduée. Pour I = [-1; 3] et J = ]0; 40; 3].
Pour la réunion I ∪ J, prends tout ce qui est colorié par au moins un des deux intervalles. Ici, I ∪ J = [-1; 4[.
Parfois, deux intervalles ne se touchent pas du tout, comme ]-∞; -1] et [1; 4]. Leur intersection est alors l'ensemble vide ∅.
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L'astuce géniale : |a - b| représente la distance entre a et b sur une droite graduée. La distance entre 1,5 et 4 est |1,5 - 4| = 2,5.
Pour résoudre |x - 5| = 2, demande-toi : quels nombres sont à distance 2 du nombre 5 ? Réponse : 3 et 7 !
💡 Astuce : Dessine toujours la droite graduée avec le point de référence. Tu trouveras les solutions en comptant la distance !
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Résoudre des inéquations avec valeurs absolues
Pour |x - 5| ≤ 2, tu cherches tous les nombres dont la distance au nombre 5 est inférieure ou égale à 2. Sur ta droite graduée, c'est tout l'intervalle [3; 7] !
La méthode est toujours la même : place ton point de référence (ici 5), reporte la distance de chaque côté (ici 2), et détermine l'intervalle selon le sens de l'inégalité.
Si c'était |x - 5| ≥ 2, tu aurais pris les nombres à l'extérieur : ]-∞; 3] ∪ [7; +∞[.
💡 Astuce : Avec ≤, tu prends l'intervalle "du milieu". Avec ≥, tu prends les deux intervalles "des extrémités" !
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Oui, tu as un accès entièrement gratuit à tous les contenus de l'appli, tu peux chatter ou suivre les créateurs à tout moment. De plus, nous proposons Knowunity Premium, qui te permet de réviser sans limites!
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Khady
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