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Exercices corrigés de divison euclidienne et congruence pour les nuls

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Pauline Demeusy

28/01/2023

Maths exp.

Arithmétique partie 1

Mathématiques

Opérations et Méthodes de Division

Divisibilité et congruence

522

•

28 janv. 2023

•

3 pages

Exercices corrigés de divison euclidienne et congruence pour les nuls

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Pauline Demeusy

@pauline.demeusy

L'arithmétique est une branche fondamentale des mathématiques qui étudie les... Affiche plus

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Arithmétique Arithmétique Branche des mathématiques qui étudie les nombres entiers Z Divisibilité : Définition: Si bak, on dit de façon équi

Fractions irréductibles et équations à deux inconnues

Cette section aborde deux concepts importants : les fractions irréductibles et la résolution d'équations à deux inconnues.

Pour démontrer qu'une fraction est irréductible, il faut montrer que le plus grand diviseur commun du numérateur et du dénominateur est 1 ou -1.

Example: Montrer que la fraction 12n+712n + 7 / 3n+13n + 1 est irréductible.

La méthode consiste à utiliser les propriétés de divisibilité établies précédemment pour prouver que le seul diviseur commun possible est 1.

Pour résoudre une équation à deux inconnues, on suit une méthode spécifique :

  1. Déterminer les diviseurs du terme constant
  2. Identifier les identités remarquables si possible
  3. Résoudre les systèmes d'équations correspondants

Example: Résoudre dans N l'équation : 4x² - y² = 20

Cette méthode est illustrée en détail avec cet exemple, montrant comment décomposer l'équation et trouver les couples (x, y) solutions.

Highlight: La résolution d'équations à 2 inconnues nécessite souvent une approche systématique et l'utilisation de propriétés algébriques.

Arithmétique Arithmétique Branche des mathématiques qui étudie les nombres entiers Z Divisibilité : Définition: Si bak, on dit de façon équi

Division euclidienne et congruence

Cette dernière section traite de deux concepts fondamentaux en arithmétique : la division euclidienne et la congruence.

Le théorème de la division euclidienne énonce que pour tout entier a et tout réel b, il existe des uniques q et r tels que :

a = bq + r, avec 0 ≤ r < b

Où a est le dividende, b le diviseur, q le quotient et r le reste.

Example: 190 = 25 x 7 + 15, où 0 ≤ 15 < 25

La relation de congruence est un concept lié à la division euclidienne. On dit que x est congru à y modulo n, noté x ≡ y nn, si n divise x - y.

Definition: x ≡ y nn signifie que x et y ont le même reste dans la division euclidienne par n.

Highlight: La congruence modulo est un outil puissant pour résoudre de nombreux problèmes en arithmétique.

Quelques propriétés importantes de la congruence :

  • Si x ≡ y nn et y ≡ z nn, alors x ≡ z nn
  • x ≡ y nn implique kx ≡ ky nn pour tout k

Ces concepts sont essentiels pour résoudre des problèmes plus avancés en arithmétique, comme déterminer la divisibilité de expressions complexes.

Example: Montrer que nn2−4n² - 4 est divisible par 3 en utilisant une disjonction de cas : n ≡ 0, 1, ou 2 33

Ce type de problème illustre l'application pratique des concepts de divisibilité et de congruence dans des démonstrations mathématiques plus complexes.

Arithmétique Arithmétique Branche des mathématiques qui étudie les nombres entiers Z Divisibilité : Définition: Si bak, on dit de façon équi

Fondements de l'arithmétique et divisibilité

L'arithmétique est la branche des mathématiques qui se concentre sur l'étude des nombres entiers (Z). Cette section introduit le concept crucial de divisibilité, qui est fondamental pour comprendre de nombreux aspects de l'arithmétique.

La divisibilité est définie de plusieurs façons équivalentes :

  • Si b = ak, on dit que :
    • a divise b
    • a est un diviseur de b
    • b est divisible par a
    • b est un multiple de a

On note cette relation par a | b, ou a ∤ b si ce n'est pas le cas. L'ensemble des diviseurs de a est noté D(a).

Exemple: 3 | 12 car 12 = 3 x 4, mais 4 ∤ 10

Highlight: 0 ne divise aucun nombre, mais est divisible par tous les nombres.

Une propriété importante de la divisibilité est que si c | A et c | B, alors c | Ax + By pour tout x et y.

Exemple: Soit d ∈ N. Si d | 12n + 7 = A et d | 3n + 1 = B, alors d divise 3.

Cette propriété est utile pour démontrer la divisibilité dans des cas complexes, comme le montre l'exemple ci-dessus.

Vocabulary: Critères de divisibilité - Ce sont des règles qui permettent de déterminer rapidement si un nombre est divisible par un autre sans effectuer la division.



Si on te demande...

Qu'est-ce que le compagnon IA de Knowunity ?

Notre compagnon IA est spécialement conçu pour répondre aux besoins des étudiants. Sur la base des millions d'éléments de contenu que nous avons sur la plateforme, nous pouvons fournir des réponses vraiment significatives et pertinentes aux étudiants. Mais il ne s'agit pas seulement de réponses, le compagnon a encore plus pour but de guider les élèves dans leurs défis d'apprentissage quotidiens, avec des plans d'étude personnalisés, des quiz ou des éléments de contenu dans le chat et une personnalisation à 100% basée sur les compétences et les développements de l'étudiant.

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Tu peux télécharger l'application dans Google Play Store et dans l'App Store d'Apple.

L'application est-elle vraiment gratuite ?

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Google Play

L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

Stefan S

utilisateur iOS

Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

Samantha Klich

utilisatrice Android

Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

Anna

utilisatrice iOS

Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

Thomas R

utilisateur d' Android

super application pour réviser je révise tout les soirs

Esteban M

utilisateur d'Android

Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

utilisateur d'Android

L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

utilisateur Android

Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

Greenlight Bonnie

utilisateur Android

PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰

Khady

utilisatrice d'Android

Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

utilisatrice iOS

C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

Raoul

utilisateur IOS

Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands

Ella

utilisatrice iOS

L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

Stefan S

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Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

Samantha Klich

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Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

Anna

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Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

Thomas R

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Esteban M

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Leny

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L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

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Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

Greenlight Bonnie

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Khady

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Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

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Divisibilité et congruence

 

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L'arithmétique est une branche fondamentale des mathématiques qui étudie les propriétés des nombres entiers. Ce résumé couvre les concepts clés de divisibilité, de fractions irréductibles, d'équations à deux inconnues, de division euclidienne et de congruence. Il fournit des définitions, des... Affiche plus

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Fractions irréductibles et équations à deux inconnues

Cette section aborde deux concepts importants : les fractions irréductibles et la résolution d'équations à deux inconnues.

Pour démontrer qu'une fraction est irréductible, il faut montrer que le plus grand diviseur commun du numérateur et du dénominateur est 1 ou -1.

Example: Montrer que la fraction 12n+712n + 7 / 3n+13n + 1 est irréductible.

La méthode consiste à utiliser les propriétés de divisibilité établies précédemment pour prouver que le seul diviseur commun possible est 1.

Pour résoudre une équation à deux inconnues, on suit une méthode spécifique :

  1. Déterminer les diviseurs du terme constant
  2. Identifier les identités remarquables si possible
  3. Résoudre les systèmes d'équations correspondants

Example: Résoudre dans N l'équation : 4x² - y² = 20

Cette méthode est illustrée en détail avec cet exemple, montrant comment décomposer l'équation et trouver les couples (x, y) solutions.

Highlight: La résolution d'équations à 2 inconnues nécessite souvent une approche systématique et l'utilisation de propriétés algébriques.

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Division euclidienne et congruence

Cette dernière section traite de deux concepts fondamentaux en arithmétique : la division euclidienne et la congruence.

Le théorème de la division euclidienne énonce que pour tout entier a et tout réel b, il existe des uniques q et r tels que :

a = bq + r, avec 0 ≤ r < b

Où a est le dividende, b le diviseur, q le quotient et r le reste.

Example: 190 = 25 x 7 + 15, où 0 ≤ 15 < 25

La relation de congruence est un concept lié à la division euclidienne. On dit que x est congru à y modulo n, noté x ≡ y nn, si n divise x - y.

Definition: x ≡ y nn signifie que x et y ont le même reste dans la division euclidienne par n.

Highlight: La congruence modulo est un outil puissant pour résoudre de nombreux problèmes en arithmétique.

Quelques propriétés importantes de la congruence :

  • Si x ≡ y nn et y ≡ z nn, alors x ≡ z nn
  • x ≡ y nn implique kx ≡ ky nn pour tout k

Ces concepts sont essentiels pour résoudre des problèmes plus avancés en arithmétique, comme déterminer la divisibilité de expressions complexes.

Example: Montrer que nn2−4n² - 4 est divisible par 3 en utilisant une disjonction de cas : n ≡ 0, 1, ou 2 33

Ce type de problème illustre l'application pratique des concepts de divisibilité et de congruence dans des démonstrations mathématiques plus complexes.

Arithmétique Arithmétique Branche des mathématiques qui étudie les nombres entiers Z Divisibilité : Définition: Si bak, on dit de façon équi

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Fondements de l'arithmétique et divisibilité

L'arithmétique est la branche des mathématiques qui se concentre sur l'étude des nombres entiers (Z). Cette section introduit le concept crucial de divisibilité, qui est fondamental pour comprendre de nombreux aspects de l'arithmétique.

La divisibilité est définie de plusieurs façons équivalentes :

  • Si b = ak, on dit que :
    • a divise b
    • a est un diviseur de b
    • b est divisible par a
    • b est un multiple de a

On note cette relation par a | b, ou a ∤ b si ce n'est pas le cas. L'ensemble des diviseurs de a est noté D(a).

Exemple: 3 | 12 car 12 = 3 x 4, mais 4 ∤ 10

Highlight: 0 ne divise aucun nombre, mais est divisible par tous les nombres.

Une propriété importante de la divisibilité est que si c | A et c | B, alors c | Ax + By pour tout x et y.

Exemple: Soit d ∈ N. Si d | 12n + 7 = A et d | 3n + 1 = B, alors d divise 3.

Cette propriété est utile pour démontrer la divisibilité dans des cas complexes, comme le montre l'exemple ci-dessus.

Vocabulary: Critères de divisibilité - Ce sont des règles qui permettent de déterminer rapidement si un nombre est divisible par un autre sans effectuer la division.

Si on te demande...

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Où puis-je télécharger l'application Knowunity ?

Tu peux télécharger l'application dans Google Play Store et dans l'App Store d'Apple.

L'application est-elle vraiment gratuite ?

Oui, tu as un accès entièrement gratuit à tous les contenus de l'appli, tu peux chatter ou suivre les créateurs à tout moment. De plus, nous proposons Knowunity Premium, qui te permet de réviser sans limites!

Rien ne te convient ? Explore d'autres matières.

Les étudiants nous adorent — il ne manque plus que toi.

4.9/5

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4.8/5

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L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

Stefan S

utilisateur iOS

Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

Samantha Klich

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Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

Anna

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Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

Thomas R

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super application pour réviser je révise tout les soirs

Esteban M

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Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

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L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

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Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

Greenlight Bonnie

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PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰

Khady

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Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

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C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

Raoul

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Ella

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L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

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Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

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Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

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Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

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super application pour réviser je révise tout les soirs

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Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

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Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

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