Identification des suites géométriques

Pour démontrer qu'une suite est géométrique, il faut vérifier qu'il existe une raison q telle que u₍ₙ₊₁₎ = q × uₙ pour tout n.

Prenons un exemple concret : si on a u₍ₙ₊₁₎ = 5u₍ₙ₎ + 8, cette suite n'est pas directement géométrique. Mais on peut poser vₙ = uₙ + 2 et montrer que vₙ₊₁ = 5vₙ, ce qui fait de (vₙ) une suite géométrique de raison 5.

On peut aussi vérifier si une suite est géométrique en calculant le rapport u₍ₙ₊₁₎/uₙ. Par exemple, pour uₙ = 3×5^$n+1$, on obtient u₍ₙ₊₁₎/uₙ = 5, donc c'est une suite géométrique de raison 5.

💡 Astuce : Pour transformer une suite qui n'est pas géométrique en une suite qui l'est, essayez de poser vₙ = uₙ + α où α est une constante à déterminer.

Terme général et algorithme de seuil

Le terme général d'une suite géométrique de premier terme u₀ et de raison q s'écrit : uₙ = u₀ × qⁿ. Par exemple, si u₍ₙ₊₁₎ = -6uₙ avec u₀ = 2,1, alors pour tout n ≥ 0, uₙ = 2,1 × (-6)ⁿ.

Pour une suite arithmétique de premier terme u₀ et de raison r, le terme général est : uₙ = u₀ + r×n. Si v₍ₙ₊₁₎ = vₙ - 4 avec v₀ = 2,8, alors vₙ = 2,8 - 4n.

L'algorithme de seuil permet de déterminer le rang à partir duquel une suite dépasse une valeur donnée. Par exemple, pour vₙ₊₁ = 7vₙ + 2 avec v₀ = 0, on cherche n tel que vₙ > 1000. L'algorithme serait :

v = 0
n = 0
tant que v <= 1000
    n = n + 1
    v = 7v + 2

🔍 Important : Les algorithmes de seuil sont souvent utilisés dans les exercices de bac pour étudier le comportement des suites.

Théorème de comparaison

Le théorème de comparaison est un outil puissant pour déterminer la limite d'une suite. Si à partir d'un certain rang uₙ ≤ vₙ et que lim(uₙ) = +∞, alors lim(vₙ) = +∞.

Prenons un exemple : pour calculer lim$n² + (-1)ⁿ$, on observe que (-1)ⁿ ≥ -1, donc n² + (-1)ⁿ ≥ n² - 1. Comme lim(n²) = +∞, on en déduit que lim$n² - 1$ = +∞, et par le théorème de comparaison, lim$n² + (-1)ⁿ$ = +∞.

De même, pour étudier lim$n + sin(n)$, on utilise l'inégalité -1 ≤ sin(n) ≤ 1, ce qui donne n - 1 ≤ n + sin(n). Puisque lim$n - 1$ = +∞, on conclut que lim$n + sin(n)$ = +∞.

💡 Conseil : Essayez toujours d'encadrer les termes complexes par des expressions dont vous connaissez la limite.

Théorème d'encadrement

Le théorème d'encadrement (ou "théorème des gendarmes") est fondamental pour déterminer les limites. Si uₙ ≤ vₙ ≤ wₙ et que lim(uₙ) = lim(wₙ) = L, alors lim(vₙ) = L.

Analysons lim$1 + sin(n)/n$ : comme -1 ≤ sin(n) ≤ 1, on a -1/n ≤ sin(n)/n ≤ 1/n, donc 1 - 1/n ≤ 1 + sin(n)/n ≤ 1 + 1/n.

Les limites des bornes sont :

• lim$1 - 1/n$ = 1
• lim$1 + 1/n$ = 1

Par le théorème d'encadrement, on conclut que lim$1 + sin(n)/n$ = 1.

🔑 Clé de réussite : Pour appliquer ce théorème, trouvez deux suites qui "encadrent" votre suite et qui convergent vers la même limite.

Limites usuelles des suites

Connaître les limites usuelles est essentiel pour résoudre rapidement des problèmes plus complexes. Voici les principales à retenir :

• lim(n) = +∞
• lim(nᵖ) = +∞ pour tout p > 0
• lim$-nᵖ$ = -∞ pour tout p > 0
• lim$1/nᵖ$ = 0 pour tout p > 0
• lim$4/n$ = lim$4/n²$ = 0
• lim(√n) = +∞
• lim$1/√n$ = 0

Pour les suites composées, on utilise les opérations sur les limites. Par exemple, pour n²/n = n, la limite est +∞.

Ces formules sont des outils précieux pour déterminer les limites de suites plus complexes en les décomposant en expressions plus simples.

📝 À noter : Mémoriser ces limites vous fera gagner un temps précieux lors des examens et vous permettra de vous concentrer sur la stratégie de résolution.

Théorème de convergence monotone

Le théorème de convergence monotone garantit l'existence d'une limite sous certaines conditions :

• Si une suite est croissante et majorée, alors elle converge vers une limite finie.
• Si une suite est décroissante et minorée, alors elle converge vers une limite finie.

Ce théorème est particulièrement utile quand on ne peut pas calculer explicitement la limite d'une suite, mais qu'on peut prouver sa monotonie et son caractère borné.

Pour l'appliquer, il faut démontrer que la suite est monotone (croissante ou décroissante) et qu'elle admet une borne (supérieure si croissante, inférieure si décroissante).

💡 Astuce pratique : Pour montrer la monotonie, comparez souvent uₙ₊₁ et uₙ. Pour montrer qu'une suite est bornée, cherchez à l'encadrer par des valeurs constantes.

Applications pratiques des suites

Pour trouver le premier terme d'une suite géométrique, on peut utiliser des relations entre différentes suites. Par exemple, avec vₙ = uₙ - 4000 et u = 10000, on trouve v₀ = 6000.

Pour exprimer une suite en fonction d'une autre, il suffit de résoudre l'équation qui les lie. Si vₙ = uₙ + 10000, alors uₙ = vₙ - 10000.

L'étude des variations est essentielle pour comprendre le comportement des suites. Prenons uₙ₊₁ = 1,08uₙ + 300 avec u₀ = 500. Pour étudier les variations de (uₙ), on calcule la différence uₙ₊₁ - uₙ et on analyse son signe.

Pour les suites définies par uₙ = 15000 × 1,08ⁿ - 10000, on peut calculer uₙ₊₁ - uₙ = 15000 × 1,08ⁿ × 0,08, qui est toujours positif pour n ≥ 0, donc la suite est croissante.

📊 Application concrète : Ces méthodes sont particulièrement utiles pour modéliser des situations financières comme des remboursements d'emprunts ou des placements avec intérêts.