Découvre les Limites des Suites et Exercices Corrigés PDF

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Ella

09/05/2022

Maths

Suites Numériques Et Limites

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Maths

Découvre les Limites des Suites et Exercices Corrigés PDF

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

Apprends facilement les limites des suites avec des exercices corrigés PDF, incluant les suites arithmétiques et géométriques. Explore le théorème de convergence monotone et plus encore !

09/05/2022

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I
Chap 2
1. Notion de limite d'une suite:
Uno suite (lo) a pour limite un Reel I quand n
tend VeRs +∞o si les termos doviennent hous aussi
P

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Théorèmes de comparaison et de convergence monotone

Cette section présente des outils essentiels pour analyser le comportement des suites à l'infini. Les théorèmes de comparaison permettent de déduire la limite d'une suite à partir de celles d'autres suites qui l'encadrent.

Le théorème de convergence monotone est un résultat fondamental :

Définition: Toute suite croissante et majorée converge (vers une limite finie). De même, toute suite décroissante et minorée converge.

Ce théorème est complété par d'autres propriétés importantes :

Si une suite admet une limite, alors la limite de un+1 est égale à la limite de un.
Toute suite convergente est bornée.
Une suite croissante non majorée diverge vers +∞, tandis qu'une suite décroissante non minorée diverge vers -∞.

Highlight: Ces théorèmes fournissent des outils puissants pour étudier la convergence d'une suite sans nécessairement calculer sa limite explicite.

Voir

Limites des suites arithmétiques et géométriques

Cette dernière partie se concentre sur les limites de deux types de suites fondamentales : les suites arithmétiques et géométriques.

Pour une suite arithmétique de raison r (un+1 = un + r) :

Si r > 0, la suite tend vers +∞
Si r < 0, la suite tend vers -∞
Si r = 0, la suite est constante

L'inégalité de Bernoulli est également présentée :

Définition: Pour tout nombre réel a > -1 et tout entier naturel n, on a : (1+a)^n ≥ 1 + na

Pour une suite géométrique de raison q (un+1 = q * un) :

Si |q| > 1, la suite tend vers +∞ ou -∞ selon le signe de q
Si -1 < q < 1, la suite converge vers 0
Si q = 1, la suite est constante
Si q ≤ -1, la suite diverge et n'admet pas de limite

Exemple: La suite géométrique un = (1/2)^n converge vers 0 car sa raison q = 1/2 est comprise entre -1 et 1.

Ces résultats sont essentiels pour l'étude des limites des suites et trouvent de nombreuses applications en analyse mathématique.

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Louis B., utilisateur iOS

J'aime tellement cette application [...] Je recommande Knowunity à tout le monde ! !! Je suis passé de 11 à 16 grâce à elle :D

Stefan S., utilisateur iOS

L'application est très simple à utiliser et bien faite. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais :D

Lola, utilisatrice iOS

J'adore cette application ❤️ Je l'utilise presque tout le temps pour réviser.

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Théorèmes de comparaison et de convergence monotone

Le théorème de convergence monotone est un résultat fondamental :

Définition: Toute suite croissante et majorée converge (vers une limite finie). De même, toute suite décroissante et minorée converge.

Ce théorème est complété par d'autres propriétés importantes :

Si une suite admet une limite, alors la limite de un+1 est égale à la limite de un.
Toute suite convergente est bornée.
Une suite croissante non majorée diverge vers +∞, tandis qu'une suite décroissante non minorée diverge vers -∞.

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Limites des suites arithmétiques et géométriques

Cette dernière partie se concentre sur les limites de deux types de suites fondamentales : les suites arithmétiques et géométriques.

Pour une suite arithmétique de raison r (un+1 = un + r) :

Si r > 0, la suite tend vers +∞
Si r < 0, la suite tend vers -∞
Si r = 0, la suite est constante

L'inégalité de Bernoulli est également présentée :

Définition: Pour tout nombre réel a > -1 et tout entier naturel n, on a : (1+a)^n ≥ 1 + na

Pour une suite géométrique de raison q (un+1 = q * un) :

Si |q| > 1, la suite tend vers +∞ ou -∞ selon le signe de q
Si -1 < q < 1, la suite converge vers 0
Si q = 1, la suite est constante
Si q ≤ -1, la suite diverge et n'admet pas de limite

Exemple: La suite géométrique un = (1/2)^n converge vers 0 car sa raison q = 1/2 est comprise entre -1 et 1.

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Notion de limite d'une suite

Ce chapitre introduit le concept fondamental de limite d'une suite. Une suite (un) a pour limite un réel l quand n tend vers l'infini si ses termes se rapprochent arbitrairement près de l pour n suffisamment grand. On dit alors que la suite converge vers l.

Le chapitre définit également les cas de divergence vers +∞ et -∞, où les termes deviennent respectivement arbitrairement grands ou petits.

Définition: Une suite (un) converge vers l si lim un = l quand n tend vers l'infini.

Vocabulaire: La convergence d'une suite signifie qu'elle tend vers une valeur finie, tandis que la divergence indique qu'elle tend vers l'infini ou n'a pas de limite.

Exemple: La suite un = 1/n converge vers 0 car ses termes se rapprochent de plus en plus de 0 quand n augmente.

Le chapitre aborde ensuite les opérations sur les limites, notamment la limite d'une suite arithmétique et la limite d'une suite géométrique. Des tableaux récapitulatifs sont fournis pour la limite d'une somme et d'un produit de suites.

Highlight: Certaines suites n'admettent pas de limite, comme un = cos(n) ou un = (-1)^n qui oscillent sans converger.

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