L'impact des mathématiques dans la musique : Grand oral 2024

Les fondements mathématiques du son

Le son, c'est une onde de vibration qui voyage dans l'air. Sa fréquence (mesurée en Hertz) détermine si le son est grave ou aigu : plus la fréquence est élevée, plus le son est aigu.

Les instruments créent des sons grâce à des objets qui vibrent (comme les cordes de guitare) ou à l'air qui résonne (comme dans un orgue). On peut décrire mathématiquement tous ces sons avec les fonctions sinus et cosinus.

Voici le truc génial : quand un objet vibre à une certaine fréquence F, il produit aussi automatiquement le double (2F), qu'on appelle la seconde harmonique. Cette nouvelle note sonne si bien avec la première qu'on les considère presque identiques - c'est ce qu'on appelle l'octave.

À retenir : L'octave correspond exactement au double de la fréquence de la note de base !

Pythagore au VIe siècle avant J.-C. considérait la musique comme une science mathématique. Il a créé la première gamme pythagoricienne - une série de notes contenues dans une octave.

La découverte révolutionnaire de Pythagore

La légende raconte que Pythagore a eu sa révélation en écoutant des forgerons ! Leurs marteaux produisaient des sons harmonieux ou dissonants selon leur masse.

Avec son monocorde (une simple corde tendue), Pythagore découvre que faire vibrer les deux tiers de la corde donne une nouvelle note qui sonne parfaitement avec la note de base. Ce rapport 2/3 correspond à la quinte - un intervalle au rapport de fréquence 3/2.

Son idée géniale ? Créer de nouvelles notes en prenant la quinte de chaque note précédente. Mathématiquement, ça forme une suite géométrique de premier terme f et de raison 3/2.

Attention : Après 12 multiplications par 3/2, on retombe presque sur la note de départ !

Le problème, c'est ce "presque". Quand on calcule $3/2$^12, on obtient 129,7, très proche de 128 $soit 2^7$. Cette quasi-égalité explique pourquoi on a 12 notes en musique, mais elle crée aussi un problème : la quinte du loup, une quinte légèrement fausse qui sonne mal.

La solution moderne : le tempérament égal

Impossible d'avoir un accord parfait à cause de l'arithmétique : $3/2$^12 ≠ 2^7. La solution moderne ? Le tempérament égal, qui répartit le désaccord uniformément sur toutes les notes.

Au lieu de multiplier par 3/2, on divise l'octave en 12 intervalles égaux appelés demi-tons. On passe d'une note à l'autre en multipliant par 2^$1/12$, soit la racine douzième de 2.

Cette fois, après 12 multiplications, on retombe pile sur l'octave ! La quinte vaut 1,498 (au lieu de 1,5), très proche de l'original mais sans quinte du loup.

Le génie de Bach : Dans "Le clavier bien tempéré", il compose dans toutes les tonalités pour prouver qu'elles se valent toutes !

Jean-Sébastien Bach fonctionne comme un mathématicien. Il explore méthodiquement toutes les possibilités musicales, démontrant que le tempérament égal permet une liberté totale de composition.

Aujourd'hui, c'est la méthode standard en musique occidentale. D'autres cultures font différemment : la musique arabe utilise 24 notes, l'indienne 22. Le tempérament égal est paradoxalement le pire (aucun intervalle parfait) et le meilleur (aucun intervalle horrible) des systèmes !