Multiples et Diviseurs
Cette section aborde les concepts fondamentaux des multiples et diviseurs en arithmétique. Elle commence par définir la division euclidienne, puis explique les notions de multiples et de diviseurs.
Définition: La division euclidienne de a par b (b non nul) consiste à trouver deux entiers q et r tels que a = bq + r avec r < b.
Définition: Un nombre a est un multiple de b s'il existe un entier q tel que a = bq. Dans ce cas, on dit aussi que a est divisible par b, ou que b est un diviseur de a.
Un exemple concret est donné avec le nombre 28, qui est multiple de 1, 2, 4, 7, 14 et 28. On note que 4 divise 28 et que 2 est un diviseur de 28.
Propriété: La somme de deux multiples de a est également un multiple de a.
Cette propriété est illustrée par un exemple : si b = ka et c = k'a, alors b + c = ka + k'a = (k + k')a.
Highlight: Des règles importantes concernant les opérations sur les nombres pairs et impairs sont présentées :
- pair + pair = pair
- pair + impair = impair
- impair + impair = pair
- impair × pair = pair
- impair × impair = impair
Ces règles sont essentielles pour comprendre le comportement des nombres dans les opérations arithmétiques de base.
Nombres Premiers
Cette partie du cours se concentre sur les nombres premiers, un concept crucial en arithmétique.
Définition: Un nombre premier est un nombre qui n'est divisible que par 1 et par lui-même.
Il est précisé que 1 n'est pas considéré comme premier car il n'a qu'un seul diviseur.
Example: Pour déterminer si 157 est premier, on vérifie sa divisibilité par les nombres premiers jusqu'à √157 ≈ 12,5.
Remarque: Si √N est un entier, alors N n'est pas premier. Par exemple, 289 = 17², donc 289 n'est pas premier.
Des propriétés importantes sont énoncées :
- 1 n'a qu'un diviseur : lui-même
- Tout nombre entier est divisible par 1 et par lui-même
- Tout nombre divise 0
- Un nombre pair peut s'écrire 2K, un nombre impair 2K+1 (K entier)
Théorème: Tout nombre entier se décompose de manière unique en un produit de facteurs premiers.
La méthode de décomposition en facteurs premiers est expliquée : on divise le nombre par les nombres premiers dans l'ordre croissant jusqu'à obtenir un quotient égal à 1.
Example: Décomposition de 150 et 72 en facteurs premiers :
150 = 2 × 3 × 5²
72 = 2³ × 3²
Ces exemples illustrent l'application pratique de la décomposition en facteurs premiers, une compétence essentielle en arithmétique.
