Arithmétique pour le cours de maths de 3ème: théorie et exercices corrigés

Division euclidienne et critères de divisibilité

La division euclidienne est une opération fondamentale qui décompose un nombre (le dividende) en un produit du diviseur par le quotient, plus un reste. La formule à retenir est : dividende = diviseur × quotient + reste, avec le reste toujours inférieur au diviseur.

Quand deux nombres sont divisibles par un même nombre, on parle de diviseur commun. Par exemple, 12 et 15 ont 3 comme diviseur commun car 12 = 3 × 4 et 15 = 3 × 5.

Pour reconnaître rapidement si un nombre est divisible par certains nombres, on utilise les critères de divisibilité :

• Par 2 : le nombre doit être pair
• Par 3 : la somme des chiffres doit être divisible par 3
• Par 5 : le chiffre des unités doit être 0 ou 5
• Par 10 : le chiffre des unités doit être 0

💡 Astuce pratique : Pour vérifier rapidement la divisibilité par 9, fais la somme de tous les chiffres du nombre. Si cette somme est divisible par 9, alors le nombre original l'est aussi !

Nombres premiers et décomposition en facteurs premiers

Les nombres premiers sont des nombres qui n'ont que deux diviseurs : 1 et eux-mêmes. Le crible d'Ératosthène est une méthode pour les identifier facilement. Par exemple, 7 est premier car il n'est divisible que par 1 et par 7.

La décomposition en facteurs premiers permet d'exprimer n'importe quel nombre comme un produit de nombres premiers. Pour décomposer un nombre comme 588, on effectue des divisions successives par des nombres premiers : 588 = 2² × 3 × 7².

Cette décomposition est particulièrement utile pour simplifier des fractions. Pour rendre une fraction irréductible comme 175/245, on décompose le numérateur et le dénominateur en facteurs premiers $175 = 5² × 7 et 245 = 5 × 7²$, puis on simplifie les facteurs communs pour obtenir 5/7.

🔍 À noter : Pour l'arithmétique au brevet, maîtriser la décomposition en facteurs premiers est essentiel ! Tu peux utiliser ta calculatrice (fonction DECOMP) pour vérifier tes calculs.