Méthodes pour calculer le PGCD
Il existe deux méthodes principales pour trouver le PGCD de deux nombres, et les deux sont faciles à maîtriser.
Première méthode : Liste tous les diviseurs de chaque nombre, puis trouve le plus grand commun. Pour PGCD(72, 40), les diviseurs de 40 sont 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40 et ceux de 72 sont 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72. Le plus grand commun est 8.
Deuxième méthode : Les soustractions successives. Tu soustrais le plus petit nombre du plus grand, puis tu recommences avec le résultat jusqu'à obtenir 0. Pour PGCD(72, 40) : 72-40=32, puis 40-32=8, 32-8=24, 24-8=16, 16-8=8, 8-8=0. Le PGCD est donc 8.
Info importante : Deux nombres sont premiers entre eux quand leur PGCD = 1. C'est exactement ce qui rend une fraction irréductible !
Les nombres premiers et la division euclidienne
Les nombres premiers sont des nombres qui ne se divisent que par 1 et par eux-mêmes. Les plus connus sont 2, 3, 5, 7, 11, 13... Ils sont les "briques de base" de tous les autres nombres.
La division euclidienne te permet de diviser n'importe quels deux nombres, même quand la division ne "tombe pas juste". Elle s'écrit sous la forme : dividende = diviseur × quotient + reste.
Cette division est fondamentale car elle te donne toujours un quotient et un reste, ce qui est super utile pour de nombreux problèmes d'arithmétique que tu rencontreras au lycée.