life quantlou

04/12/2025

Maths

Calcul intégral

Mathématiques

Méthodes d'intégration pour le calcul des aires

intégrale

1 310

•

4 déc. 2025

•

3 pages

Introduction au Calcul Intégral

life quantlou

@lifequantlou_lmvs

Le calcul intégral te permet de calculer des aires sous... Affiche plus

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CALCUL
Integral
Définition
Seit & une fonction continue et
positive sur l'intervalle [a; b ]
In note of la courbe représentative
de f
L'

Définition et calcul de base

Imagine que tu veuilles calculer l'aire sous une courbe - c'est exactement ce que fait l'intégrale ! Pour une fonction f continue et positive sur $a; b$ , l'intégrale $\int_a^b f(x) dx$ représente cette aire sous la courbe.

La clé pour calculer une intégrale, c'est de trouver une primitive F de ta fonction f. Une primitive, c'est simplement une fonction dont la dérivée donne f. Une fois que tu as ta primitive, le calcul devient super simple : $\int_a^b f(t) dt = F(b) - F(a)$ .

Prenons un exemple concret avec $I = \int_0^1 e^t dt$ . La primitive de $e^t$ est $e^t$ elle-même (pratique !). Donc $I = e^1 - e^0 = e - 1$ . Tu vois comme c'est direct une fois que tu maîtrises le principe !

💡 Astuce : Retiens que l'intégrale = aire, et que le calcul se fait toujours avec F(borne haute) - F(borne basse).

Propriétés essentielles

Les propriétés des intégrales vont te faire gagner un temps fou dans tes calculs ! D'abord, retiens que changer l'ordre des bornes change le signe : $\int_a^b f(t)dt = -\int_b^a f(t)dt$ .

La relation de Chasles est ton meilleur ami : $\int_a^c f(t)dt = \int_a^b f(t)dt + \int_b^c f(t)dt$ . Tu peux découper ton intégrale comme tu veux ! La linéarité te permet aussi de sortir les constantes : $\int_a^b \lambda f(t)dt = \lambda \int_a^b f(t)dt$ .

Pour calculer l'aire entre deux courbes f et g, utilise la formule $A = \int_a^b |f(x) - g(x)| dx$ . Les barres de valeur absolue garantissent que tu obtiennes une aire positive, même quand les courbes se croisent.

💡 Pratique : Ces propriétés transforment des calculs compliqués en calculs simples - apprends-les par cœur !

Techniques avancées

La valeur moyenne d'une fonction sur $a,b$ se calcule avec $M = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x)dx$ . C'est comme faire la moyenne de toutes les valeurs de f sur l'intervalle ! L'inégalité de la moyenne te donne des bornes utiles : si $m \leq f(x) \leq n$ , alors $m(b-a) \leq \int_a^b f(x)dx \leq n(b-a)$ .

L'intégration par parties est ta solution quand tu as un produit de fonctions difficile à intégrer directement. La formule magique : $\int_a^b u(x)v'(x) dx = [u(x)v(x)]_a^b - \int_a^b u'(x)v(x) dx$ .

Pour l'exemple $\int_0^3 xe^x dx$ , pose $u(x) = x$ et $v'(x) = e^x$ . Alors $u'(x) = 1$ et $v(x) = e^x$ . En appliquant la formule, tu obtiens $2e^3 + 1$ . L'astuce : choisis u comme la fonction qui se simplifie en dérivant (souvent les polynômes).

💡 Stratégie : Pour l'intégration par parties, pense à "PLUIE" : Polynômes, Log, Puissances, Inverses, Exponentielles (dans cet ordre pour u).

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