Le développement d'expressions

Le développement consiste à transformer un produit en une somme. Pour cela, on utilise la double distributivité : $(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$. C'est comme déballer un paquet cadeau pour voir tout ce qu'il contient!

Par exemple, pour développer $(x+2)(x+3)$, on multiplie chaque terme de la première parenthèse avec chaque terme de la seconde. On obtient $x^2 + 3x + 2x + 6$, qu'on peut simplifier en $x^2 + 5x + 6$.

Pour aller plus vite, on peut utiliser des formules appelées identités remarquables :

• $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ (le carré d'une somme)
• $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ (le carré d'une différence)
• $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ (produit de facteurs conjugués)

💡 Astuce : Pour $(a+b)(a-b)$, retiens que le résultat est toujours une "différence de carrés". Les termes du milieu s'annulent et c'est pour ça qu'on obtient directement $a^2-b^2$.

La factorisation

La factorisation est l'opération inverse du développement. Tu transformes une somme en un produit. C'est comme ranger plusieurs objets dans des boîtes!

Pour factoriser, on utilise les mêmes identités remarquables, mais dans l'autre sens :

• $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$
• $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$
• $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$

Par exemple, pour factoriser $x^2 + 6x + 9$, on repère que $6x = 2 \times x \times 3$et que$9 = 3^2$. L'expression a donc la forme$a^2 + 2ab + b^2$avec$a=x$et$b=3$. On obtient donc$$x+3$^2$.

De même, $16x^2 - 49$est une différence de carrés car$16x^2 = (4x)^2$et$49 = 7^2$. On peut donc la factoriser en$$4x-7$$4x+7$$.

🔍 Important : Pour réussir à factoriser, il faut d'abord bien observer la forme de l'expression pour reconnaître s'il s'agit d'une identité remarquable.