Chapitre 1 : Calculs numérique et algébrique - Les ensembles de nombres

Salut ! Ce premier chapitre va te donner toutes les clés pour comprendre comment fonctionnent les nombres. Tu vas voir qu'il existe plusieurs familles de nombres avec chacune ses règles particulières.

On va explorer ensemble les ensembles de nombres : des entiers que tu connais déjà jusqu'aux nombres réels plus complexes. Chaque ensemble a ses propres propriétés et règles de calcul qu'il faut maîtriser.

💡 Astuce : Pense aux ensembles comme des boîtes qui s'emboîtent : les entiers sont dans les rationnels, qui sont eux-mêmes dans les réels !

Cette base solide te servira dans tous tes calculs futurs, alors accroche-toi bien !

Les nombres entiers et leurs propriétés

Commençons par quelque chose que tu maîtrises déjà : les calculs avec priorités ! Tu sais que dans une expression comme 8+7×2, on fait d'abord la multiplication : ça donne 8+14=22.

Les multiples et diviseurs sont super importants. Si a=kb, alors a est un multiple de b, et b est un diviseur de a. Par exemple, 24 est un multiple de 6 car 24=4×6.

Les critères de divisibilité vont te faire gagner un temps fou :

• Divisible par 2 : se termine par un chiffre pair
• Divisible par 3 : somme des chiffres divisible par 3
• Divisible par 5 : se termine par 0 ou 5
• Divisible par 9 : somme des chiffres divisible par 9

💡 Astuce : Pour 417, la somme des chiffres est 4+1+7=12, divisible par 3, donc 417 est divisible par 3 !

Nombres premiers et division euclidienne

Un nombre premier n'a que deux diviseurs : 1 et lui-même. Attention, 1 n'est pas premier ! Les premiers nombres premiers sont : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23...

Chaque nombre peut se décomposer en facteurs premiers de manière unique. Pour 72, tu obtiens 72 = 2³ × 3². Cette décomposition est super utile pour simplifier les fractions !

La division euclidienne dit que pour diviser x par y, on trouve toujours q (quotient) et r (reste) tels que x = q×y + r avec 0 ≤ r < y. Par exemple : 95 = 7×12 + 11.

💡 Astuce : Pour décomposer un nombre, commence par diviser par les plus petits nombres premiers : 2, 3, 5, 7...

Les nombres rationnels (fractions)

Les nombres rationnels sont tous les nombres qu'on peut écrire sous forme de fraction a/b (avec b≠0). C'est l'ensemble Q qui contient tous les entiers et bien plus !

Une fraction est irréductible quand son numérateur et son dénominateur n'ont pas d'autre diviseur commun que 1. Pour simplifier 108/84, tu cherches le PGCD et tu divises : 108/84 = 9/7.

Égalité importante : a/b = c/d si et seulement si a×d = b×c. Cette règle des "produits en croix" est fondamentale !

💡 Astuce : Pour vérifier si deux fractions sont égales, utilise toujours les produits en croix !

Opérations sur les fractions

Pour additionner ou soustraire des fractions, il faut d'abord les mettre au même dénominateur. Par exemple : 1/8 + 3/4 = 1/8 + 6/8 = 7/8.

Pour multiplier des fractions : a/b × c/d = (a×c)/(b×d). C'est direct ! Pour diviser : a/b ÷ c/d = a/b × d/c (on multiplie par l'inverse).

Les fractions complexes demandent de la méthode. Commence toujours par simplifier les numérateurs et dénominateurs séparément, puis applique la division.

💡 Astuce : Pour les calculs complexes, écris chaque étape clairement. Ne brûle jamais les étapes !

Les nombres décimaux

Un nombre décimal a un nombre fini de chiffres après la virgule. Il peut s'écrire sous forme de fraction décimale a/10^k, comme 2,405 = 2405/1000.

Propriété clé : une fraction irréductible est décimale si et seulement si son dénominateur ne contient que les facteurs premiers 2 et 5. Ainsi, 23/50 est décimal, mais 5/7 ne l'est pas.

Les nombres rationnels non décimaux ont un développement périodique. Par exemple, 1/7 = 0,142857142857... (la partie "142857" se répète).

💡 Astuce : Pour savoir si une fraction est décimale, décompose son dénominateur en facteurs premiers !

Notation scientifique

La notation scientifique s'écrit a × 10^n où a est compris entre 1 et 9, et n est un entier. C'est parfait pour les très grands ou très petits nombres !

Rappels utiles :

• 10³ = 1000 (mille), 10⁶ = 1 million, 10⁹ = 1 milliard
• 10⁻³ = 0,001 (millième), 10⁻⁶ = 0,000001 (millionième)

Pour 0,000472, tu déplaces la virgule jusqu'à obtenir 4,72, soit 4 rangs : 0,000472 = 4,72 × 10⁻⁴.

💡 Astuce : Compte le nombre de rangs que tu déplaces la virgule pour trouver l'exposant !

Les nombres réels et les puissances

L'ensemble R des nombres réels contient tous les nombres : entiers, décimaux, rationnels, et d'autres comme √2 ou π qui ne sont pas rationnels.

Règles des puissances (avec a, b ≠ 0) :

• a^m × a^n = a^$m+n$
• a^m / a^n = a^$m-n$
• $a^m$^n = a^(m×n)
• (a×b)^n = a^n × b^n

Attention : $a+b$^n ≠ a^n + b^n en général ! C'est une erreur classique à éviter.

💡 Astuce : Décompose toujours en facteurs premiers pour simplifier les expressions avec des puissances !

Approximations et encadrements

Encadrer un nombre x, c'est trouver a et b tels que a ≤ x ≤ b. L'amplitude est b-a. Plus elle est petite, plus l'encadrement est précis !

Une approximation à α près de x signifie que l'erreur est au maximum α. Si a est une approximation de x à 10⁻³ près, alors |x-a| ≤ 10⁻³.

Approximation par défaut : a ≤ x ≤ a+α Approximation par excès : a-α ≤ x ≤ a

💡 Astuce : Une approximation au centième signifie une précision à 10⁻² = 0,01 près !

Racines carrées

La racine carrée de a (noté √a) est l'unique nombre positif dont le carré vaut a. Graphiquement, l'équation x² = a a :

• Aucune solution si a < 0
• Une solution $x = 0$ si a = 0
• Deux solutions opposées si a > 0

√a est toujours la solution positive ! Si tu cherches toutes les solutions de x² = 9, tu trouves x = 3 ou x = -3, mais √9 = 3 seulement.

💡 Astuce : N'oublie jamais que √a désigne uniquement la racine positive !