Les nombres rationnels et leurs propriétés

Tu manipules déjà les fractions depuis des années, mais maintenant on va voir pourquoi ça marche. Un nombre rationnel, c'est tout simplement le quotient de deux entiers (avec un dénominateur non nul, évidemment !).

La règle d'or : tu peux multiplier le numérateur et le dénominateur par le même nombre sans changer la valeur de la fraction. C'est comme ça qu'on simplifie : $\frac{108}{84} = \frac{9 \times 12}{7 \times 12} = \frac{9}{7}$.

Une fraction irréductible, c'est quand tu ne peux plus simplifier. Le numérateur et le dénominateur n'ont plus de diviseur commun autre que 1. Pour vérifier si deux fractions sont égales, utilise le produit en croix : $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ si et seulement si $a \times d = b \times c$.

Astuce pratique : Pour simplifier rapidement, cherche d'abord le PGCD du numérateur et du dénominateur !

Opérations sur les fractions

Additionner des fractions, c'est comme mélanger des parts de pizza de même taille ! Avec le même dénominateur, tu additionnes juste les numérateurs : $\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c}$. Sinon, il faut d'abord trouver un dénominateur commun.

Pour multiplier, c'est encore plus simple : $\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}$. Tu multiplies "en ligne droite". Pour diviser, tu multiplies par l'inverse : $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}$.

Les expressions à étages peuvent paraître impressionnantes, mais décompose-les étape par étape. Commence toujours par les fractions les plus "profondes" et remonte progressivement.

Conseil : Pour les calculs complexes, écris chaque étape clairement. Ça évite les erreurs de signe !

Les nombres décimaux

Les nombres décimaux, ce sont ceux qui s'arrêtent après la virgule. 2,345 est décimal, mais $\frac{1}{3} = 0,333...$ ne l'est pas car ça continue à l'infini.

Un nombre est décimal si tu peux l'écrire sous la forme $\frac{a}{10^k}$ (une fraction décimale). Par exemple : 2,405 = $\frac{2405}{1000}$. C'est pratique pour les calculs !

Voici le truc pour reconnaître si une fraction donne un nombre décimal : regarde le dénominateur de la fraction irréductible. S'il ne contient que des facteurs 2 et 5, alors c'est décimal. Sinon, ça donnera une suite infinie de chiffres après la virgule.

À retenir : $\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3}$ est décimal, mais $\frac{1}{7}$ ne l'est pas !

Notation scientifique

La notation scientifique, c'est l'écriture des très grands ou très petits nombres sous la forme $a \times 10^n$. Le nombre $a$ doit avoir un seul chiffre avant la virgule (entre 1 et 9).

Cette notation est super utile en sciences ! 1 million = $10^6$, 1 milliard =$10^9$. Pour les petits nombres : 1 millième =$10^{-3}$, 1 millionième =$10^{-6}$.

Pour convertir : déplace la virgule et compte les déplacements. Si tu vas vers la gauche, l'exposant est positif. Vers la droite, il est négatif. 0,000472 devient $4,72 \times 10^{-4}$ (tu déplaces la virgule de 4 positions vers la droite).

Technique : Pour multiplier ou diviser en notation scientifique, traite séparément les nombres et les puissances de 10 !

Encadrements et approximations

Encadrer un nombre, c'est le "coincer" entre deux valeurs : $a ≤ x ≤ b$. L'amplitude de l'encadrement, c'est $b - a$. Plus l'amplitude est petite, plus tu es précis.

Une approximation te donne une valeur proche du nombre réel. Par défaut, c'est en-dessous du vrai nombre. Par excès, c'est au-dessus. L'approximation "à $α$ près" signifie que l'erreur est au maximum $α$.

En pratique, ta calculatrice te donne des approximations. $\sqrt{2} ≈ 1,414$ est une approximation au millième. C'est suffisant pour la plupart des calculs du quotidien !

Important : Une approximation n'est jamais exacte, mais elle peut être suffisamment précise pour ton usage !

Les racines carrées

La racine carrée de $a$, notée $\sqrt{a}$, c'est le nombre positif qui, multiplié par lui-même, donne $a$. Attention : $\sqrt{a}$ existe seulement si $a ≥ 0$ !

Graphiquement, si tu traces la courbe $y = x^2$, la racine carrée te donne la "marche arrière" : tu pars de $a$ sur l'axe des ordonnées et tu trouves $\sqrt{a}$ sur l'axe des abscisses.

L'équation $x^2 = a$ a deux solutions si $a > 0$ : $x = \sqrt{a}$ et $x = -\sqrt{a}$. Mais par définition, $\sqrt{a}$ désigne toujours la racine positive !

Piège classique : $\sqrt{16} = 4$, pas ±4. Le symbole racine donne toujours la valeur positive !

Les pourcentages

Les pourcentages traduisent une proportion : $p = \frac{Q}{R} \times 100$ où $Q$ est ta quantité et $R$ la référence. C'est partout dans la vie : soldes, taux d'intérêt, statistiques !

Pour appliquer un pourcentage : prendre $t$% de $Q$, c'est calculer $Q \times \frac{t}{100}$. Une augmentation de $t$% : multiplier par $(1 + \frac{t}{100})$. Une diminution : multiplier par $(1 - \frac{t}{100})$.

Attention aux pourcentages successifs ! Une hausse de 10% puis une baisse de 10% ne ramène pas au prix initial. Tu obtiens $1,10 \times 0,90 = 0,99$, soit 1% de moins qu'au départ.

Astuce shopping : Pour calculer rapidement une remise de 20%, multiplie par 0,8 !

Développement et distributivité

La distributivité est ta meilleure amie pour développer : $a(c+d) = ac + ad$ et $(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$. C'est comme distribuer des cadeaux à chacun !

Les identités remarquables accélèrent tes calculs :

• $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
• $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$

Développer, c'est transformer un produit en somme. Utilise la distributivité et les identités remarquables. Attention aux signes, surtout avec les parenthèses précédées d'un moins !

Méthode : Pour développer $(3x-2)^2$, applique $(a-b)^2$ avec $a=3x$ et $b=2$ !

Factorisation et égalités littérales

Factoriser, c'est l'inverse de développer : transformer une somme en produit. Cherche d'abord les facteurs communs, puis utilise les identités remarquables "à l'envers".

Pour factoriser $x^2 - 9$, reconnais $a^2 - b^2$ avec $a=x$ et $b=3$. Donc $x^2 - 9 = (x+3)(x-3)$. C'est un gain de temps énorme pour résoudre des équations !

Deux expressions $A(x)$ et $B(x)$ sont égales si elles donnent toujours le même résultat, quelle que soit la valeur de $x$. Attention : tester quelques valeurs ne suffit pas à prouver l'égalité !

Stratégie : Pour prouver une égalité, développe une expression ou factorise l'autre jusqu'à obtenir la même forme !

Histoire des nombres

L'histoire des nombres nous rappelle que les maths sont une aventure humaine ! Le comptage existe depuis 30 000 ans, avec des os marqués d'encoches comme l'os d'Ishango.

Les Babyloniens $vers -3500$ ont créé la première numération écrite en base 60. Les Égyptiens maîtrisaient les fractions, mais seulement celles de numérateur 1. Imagine faire $\frac{3}{7}$ avec seulement des fractions comme $\frac{1}{3}$ !

Les Grecs ont découvert que $\sqrt{2}$ n'est pas un nombre rationnel. Cette découverte a bouleversé leur vision du monde ! La légende dit même qu'un pythagoricien est mort noyé pour avoir révélé ce "secret".

Réflexion : Ces découvertes montrent que les mathématiques évoluent constamment et réservent encore des surprises !