Les familles de nombres : une histoire d'organisation

Imagine que tu doives ranger une immense bibliothèque - c'est exactement ce qu'ont fait trois génies des maths au XIXe siècle ! Richard Dedekind, Georg Cantor et Giuseppe Peano ont créé une classification super pratique des nombres.

Chaque ensemble a son propre symbole et sa propre utilité. L'ensemble N (comme "naturel") regroupe les nombres pour compter : 0, 1, 2, 3... Si tu vois N', ça veut dire qu'on enlève le zéro.

L'ensemble Z vient de l'allemand "Zahlen" et inclut les nombres négatifs : -2, -1, 0, 1, 2... Pratique pour exprimer des températures sous zéro ! L'ensemble Q (pour "quotiente" en italien) contient toutes les fractions comme 1/3 ou 3/4.

💡 À retenir : Chaque ensemble "englobe" le précédent, comme des poupées russes !

Les nombres entiers naturels N - La base de tout

Les nombres entiers naturels sont tes premiers amis en maths : N = {0, 1, 2, 3, ...}. Ils servent à compter tes bonbons ou tes followers Instagram !

Le concept clé ici, c'est la divisibilité. Quand on dit "5 divise 60", ça veut dire que 60 = 5 × 12. Simple, non ? Tu peux aussi dire "60 est un multiple de 5" ou "5 est un diviseur de 60".

Les nombres premiers sont les stars de cet ensemble ! Un nombre premier n'a que deux diviseurs : 1 et lui-même. Par exemple : 2, 3, 5, 7, 11, 13... En revanche, 9 n'est pas premier car il a trois diviseurs (1, 3 et 9).

💡 Astuce pratique : Tout nombre entier peut se décomposer d'une seule façon en produit de facteurs premiers - c'est comme son "ADN mathématique" !

Décomposition et nouveaux ensembles

Pour décomposer un nombre comme 360, tu divises par les nombres premiers dans l'ordre : 360 = 2³ × 3² × 5. Cette décomposition en facteurs premiers est unique pour chaque nombre !

Mais les entiers naturels ont leurs limites. Comment exprimer une perte d'argent ? C'est là qu'interviennent les entiers relatifs Z : {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}.

Les nombres décimaux D permettent d'exprimer des parties de l'unité avec des décimales qui s'arrêtent. Par exemple, 3,824 ou 19,12. Ils s'écrivent sous la forme a/10ᵏ.

💡 Bon à savoir : Un nombre décimal peut aussi s'écrire avec des puissances de 2 et 5 au dénominateur !

Les nombres rationnels Q - L'art des fractions

Tu as sûrement remarqué que 1/3 = 0,333... ne s'arrête jamais ! C'est là qu'entrent en scène les nombres rationnels Q. Ils incluent toutes les fractions p/q où p est un entier et q un entier non nul.

La règle d'or : tout nombre rationnel peut s'écrire sous forme de fraction irréductible unique. Par exemple, 15/18 se simplifie en 5/6.

Pour calculer avec les rationnels, tu dois maîtriser les opérations sur les fractions. Additionner ? Trouve un dénominateur commun ! Multiplier ? Multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

💡 Technique de pro : Toujours simplifier ta fraction finale en cherchant le PGCD du numérateur et du dénominateur !

Les nombres réels R - L'infini sur une droite

Certains nombres comme π ou √2 ne peuvent pas s'écrire sous forme de fraction - ce sont des nombres irrationnels. Avec les rationnels, ils forment l'ensemble des nombres réels R.

Imagine une droite infinie avec un repère (0;1). Chaque point de cette droite correspond à un nombre réel ! C'est pourquoi on l'appelle la droite numérique.

Les nombres comme √2 = 1,4142... ou π = 3,1415... ont une écriture décimale infinie non périodique. Ils sont essentiels pour décrire des formes géométriques comme le cercle ou le carré.

💡 Vision globale : Tu peux visualiser : N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R, comme des cercles concentriques !

Inclusions des ensembles

La relation fondamentale à retenir absolument :

N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R

Cette inclusion signifie que chaque ensemble contient le précédent, comme des boîtes emboîtées !

Intervalles et valeur absolue

Les intervalles permettent de décrire des portions de la droite réelle. L'intervalle ]-2;7] contient tous les nombres x tels que -2 < x ≤ 7. Les crochets fermés ] ou [ incluent la borne, les crochets ouverts ) ou ( l'excluent.

La valeur absolue |a| représente la distance entre a et zéro sur la droite numérique. Si a ≥ 0, alors |a| = a. Si a < 0, alors |a| = -a.

La distance entre deux nombres a et x est |x - a|. Par exemple, la distance entre -5 et 8 est |8 - (-5)| = 13.

💡 Formule clé : |b - a| ≤ r signifie que b appartient à l'intervalle $a-r; a+r$ !

Calculs avec les radicaux - Mode expert

Les radicaux (racines carrées) suivent des règles précises qu'il faut maîtriser ! Pour additionner, tu dois avoir la même racine : 5√2 + 8√2 = 13√2.

Parfois il faut d'abord simplifier : 3√8 + 5√2 = 3√(4×2) + 5√2 = 6√2 + 5√2 = 11√2.

Pour développer des expressions comme $√2x + √8$², utilise les identités remarquables : $a + b$² = a² + 2ab + b².

💡 Attention piège : √a + √b ≠ √$a + b$ ! Par exemple : √9 + √16 = 7 mais √(9+16) = 5.

Propriétés des racines carrées

La racine carrée √a d'un nombre positif a est le nombre positif dont le carré vaut a. Donc √a ≥ 0 et (√a)² = a.

Les règles de calcul essentielles sont : √(a×b) = √a × √b et √a/√b = √$a/b$ pour a et b positifs.

Ces propriétés permettent de simplifier : √50 = √(25×2) = √25 × √2 = 5√2, ou encore √(48/3) = √16 = 4.

💡 Règle d'or : Pour un nombre positif a, on a toujours √(a²) = a !