Les suites numériques : arithmétiques et géométriques

Les suites arithmétiques fonctionnent avec une addition constante. La formule clé est Un+1 = Un + r, où r est la raison (la différence constante). Pour prouver qu'une suite est arithmétique, il suffit de montrer que Un+1 - Un reste constant.

Côté formules pratiques : si tu connais le premier terme U₀, alors Un = U₀ + nr. Si tu pars d'un terme quelconque Up, alors Un = Up + $n-p$r. Ces formules te permettent de calculer n'importe quel terme directement.

Les suites géométriques utilisent une multiplication constante : Un+1 = q × Un, où q est la raison géométrique. Pour prouver qu'une suite est géométrique, tu dois démontrer que Un+1/Un est constant.

💡 Astuce pratique : Les formules sont similaires aux suites arithmétiques, mais avec des puissances : Un = U₀ × qⁿ ou Un = Up × qⁿ⁻ᵖ.

Sommes et variations des suites

Pour calculer la somme des premiers termes, les formules diffèrent selon le type. Suite arithmétique : Sn = $1er terme + dernier terme$/2 × nombre de termes. Suite géométrique : Sn = 1er terme × $1-qⁿᵇ ᵈᵉ ᵗᵉʳᵐᵉˢ$/$1-q$.

Le sens de variation d'une suite se détermine facilement : croissante si Un+1 > Un, décroissante si Un+1 < Un, stationnaire si Un+1 = Un. Une suite est monotone quand elle est soit croissante, soit décroissante.

Deux méthodes pour étudier les variations : si Un = f(n), alors la suite a les mêmes variations que la fonction f sur [0;+∞[. Sinon, calcule Un+1 - Un et étudie son signe $positif = croissante, négatif = décroissante$.

🔍 Point clé : Maîtrise ces techniques de base, elles sont fondamentales pour tous les exercices de suites que tu rencontreras au bac.