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Comprendre la fonction linéaire : définition, antécédents et trouver l'image d'un nombre

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Yamunanantha Divani

29/07/2023

Maths

Chapitre 9 : Fonctions

Comprendre la fonction linéaire : définition, antécédents et trouver l'image d'un nombre

Une fonction linéaire est une relation mathématique fondamentale qui relie deux grandeurs proportionnelles.

La définition de fonction linéaire et antécédents repose sur plusieurs concepts clés. Une fonction linéaire se caractérise par une formule du type f(x) = ax, où 'a' est un nombre réel non nul appelé coefficient de proportionnalité. Pour chaque nombre x (l'antécédent), la fonction associe un unique nombre y (l'image) tel que y = ax. Cette relation crée une droite passant par l'origine du repère, illustrant la proportionnalité entre les grandeurs.

Pour comment trouver l'image d'un nombre par une fonction, il suffit de remplacer x par le nombre choisi dans la formule de la fonction. Par exemple, avec f(x) = 2x, pour trouver l'image de 3, on calcule f(3) = 2 × 3 = 6. Cette méthode s'applique à tous les nombres réels. Le tableau de proportionnalité et quatrième proportionnelle est un outil pratique pour visualiser ces relations. Dans un tel tableau, le rapport entre deux nombres d'une même colonne est constant et égal au coefficient de proportionnalité. Pour trouver la quatrième proportionnelle, on utilise la propriété fondamentale des proportions : si a/b = c/d, alors d = (b × c)/a. Cette méthode permet de résoudre rapidement des problèmes de proportionnalité sans passer par la fonction linéaire, bien que les deux approches soient équivalentes.

La représentation graphique d'une fonction linéaire est toujours une droite passant par l'origine du repère. Cette propriété géométrique est une conséquence directe de la proportionnalité : quand on multiplie l'abscisse par un nombre, l'ordonnée est multipliée par le même nombre. Cette visualisation aide à comprendre pourquoi les fonctions linéaires sont si importantes dans la modélisation de nombreux phénomènes du monde réel, comme la conversion de devises, le calcul de vitesses constantes ou la détermination de prix proportionnels à des quantités.

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29/07/2023

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Chapitre 9: Fonctions
I/Notion
de fonction
Une fonction est un procédé de calcul qui permet d'associer au plus
un nombre à un autre nombre.

Voir

Les Bases des Fonctions Mathématiques

Une fonction mathématique représente un processus fondamental qui associe des nombres entre eux de manière unique. Pour comprendre la définition de fonction linéaire et antécédents, il est essentiel de maîtriser plusieurs concepts de base.

Pour définir une fonction, trois méthodes principales sont disponibles. La première utilise une phrase descriptive, comme "à tout nombre x, on associe son double". La deuxième emploie une notation symbolique f:x2xf:x→2x, tandis que la troisième utilise une égalité de type fxx=2x.

Définition: Une fonction est un procédé qui associe à chaque nombre d'entrée au plus un nombre de sortie.

Pour comment trouver l'image d'un nombre par une fonction, il suffit de remplacer la variable x par le nombre souhaité dans l'expression de la fonction. Les images se lisent sur l'axe vertical ordonneˊesordonnées dans une représentation graphique, tandis que les antécédents se trouvent sur l'axe horizontal abscissesabscisses.

Exemple: Pour la fonction fxx=2x, l'image de 3 est f33=2×3=6

Chapitre 9: Fonctions
I/Notion
de fonction
Une fonction est un procédé de calcul qui permet d'associer au plus
un nombre à un autre nombre.

Voir

La Proportionnalité et les Fonctions Linéaires

Le tableau de proportionnalité et quatrième proportionnelle constitue un outil essentiel pour comprendre les relations de proportionnalité. Dans un tel tableau, quatre nombres non nuls a,b,c,da, b, c, d sont liés par la relation fondamentale ad=bc, appelée "produit en croix".

Astuce: Pour calculer la quatrième proportionnelle d dans un tableau de proportionnalité, utilisez la formule d=b×cb×c/a

La fonction linéaire représente mathématiquement une situation de proportionnalité. Elle s'écrit sous la forme fxx=ax, où a est le coefficient de proportionnalité. Cette fonction traduit une relation directement proportionnelle entre deux grandeurs.

Définition: Une fonction linéaire est une fonction de la forme fxx=ax où a est un nombre non nul.

Chapitre 9: Fonctions
I/Notion
de fonction
Une fonction est un procédé de calcul qui permet d'associer au plus
un nombre à un autre nombre.

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Détermination et Utilisation des Fonctions Linéaires

Pour déterminer l'expression d'une fonction linéaire, il est crucial de comprendre que le coefficient a s'obtient en divisant une image par son antécédent. Cette propriété découle directement de la proportionnalité.

La recherche d'images et d'antécédents peut s'effectuer de deux manières distinctes. La première utilise l'expression algébrique de la fonction, tandis que la seconde s'appuie sur sa représentation graphique.

Exemple: Pour fxx=-1,3x, l'image de -5 est f5-5=-1,3×5-5=6,5

La représentation graphique d'une fonction linéaire est toujours une droite passant par l'origine du repère, ce qui facilite la lecture des images et des antécédents.

Chapitre 9: Fonctions
I/Notion
de fonction
Une fonction est un procédé de calcul qui permet d'associer au plus
un nombre à un autre nombre.

Voir

Les Fonctions Affines et Leurs Applications

Les fonctions affines généralisent les fonctions linéaires en ajoutant une constante. Une fonction affine s'écrit sous la forme fxx=ax+b, où a et b sont des nombres réels. Elle englobe deux cas particuliers importants : les fonctions linéaires b=0b=0 et les fonctions constantes a=0a=0.

Application: Dans une location de voiture à 43€ par jour avec une caution de 120€, le coût total suit la fonction affine fxx=43x+120

Ces fonctions trouvent de nombreuses applications dans la vie quotidienne, notamment dans les contextes économiques comme le calcul de prix, de taxes ou de revenus. Elles permettent de modéliser des situations où une grandeur varie de manière régulière avec une valeur initiale non nulle.

Exemple: Un salaire avec part fixe et commission suit une fonction affine : fxx=ax+b où a est le taux de commission et b le salaire fixe.

Chapitre 9: Fonctions
I/Notion
de fonction
Une fonction est un procédé de calcul qui permet d'associer au plus
un nombre à un autre nombre.

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Comprendre les Fonctions Affines et Leur Représentation Graphique

Une fonction affine est un concept mathématique fondamental qui s'exprime sous la forme fxx = ax + b, où a et b sont des nombres constants. La représentation graphique d'une fonction affine est toujours une droite, ce qui la rend particulièrement intéressante à étudier.

Définition: Une fonction affine se caractérise par deux éléments essentiels :

  • Le coefficient directeur aa qui détermine la pente de la droite
  • L'ordonnée à l'origine bb qui indique le point où la droite coupe l'axe des ordonnées

Pour représenter graphiquement une fonction affine, il faut d'abord identifier le point d'intersection avec l'axe des ordonnées, qui a pour coordonnées 0,b0,b. Ensuite, on peut déterminer un second point en calculant l'image d'un nombre par la fonction. Plus ce second point est éloigné de l'origine, plus le tracé sera précis.

Exemple: Pour la fonction fxx = 2x + 1

  • Le point B0,10,1 est l'intersection avec l'axe des ordonnées
  • Pour x = 5, f55 = 2×5 + 1 = 11, donnant le point A5,115,11
  • La droite passant par ces deux points est la représentation graphique de la fonction
Chapitre 9: Fonctions
I/Notion
de fonction
Une fonction est un procédé de calcul qui permet d'associer au plus
un nombre à un autre nombre.

Voir

Détermination Graphique des Paramètres d'une Fonction Affine

La détermination graphique des paramètres a et b d'une fonction affine nécessite une analyse précise de la droite qui la représente. Cette méthode permet de retrouver l'expression algébrique de la fonction à partir de sa représentation graphique.

Pour déterminer le coefficient directeur a graphiquement, on utilise deux points distincts de la droite, Axa,yaxₐ,yₐ et Bxβ,yβxᵦ,yᵦ. Le coefficient a est alors calculé par le rapport :

Formule: a = yayβyₐ - yᵦ/xaxβxₐ - xᵦ Cette formule représente la pente de la droite, calculée comme le rapport entre la différence des ordonnées et la différence des abscisses.

L'ordonnée à l'origine b se lit directement sur le graphique : c'est l'ordonnée du point d'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées axeverticalaxe vertical.

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Stefan S., utilisateur iOS

L'application est très simple à utiliser et bien faite. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais :D

Lola, utilisatrice iOS

J'adore cette application ❤️ Je l'utilise presque tout le temps pour réviser.

 

Maths

93

29 juil. 2023

7 pages

Comprendre la fonction linéaire : définition, antécédents et trouver l'image d'un nombre

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Yamunanantha Divani

@yamunanantha_divani18

Une fonction linéaire est une relation mathématique fondamentale qui relie deux grandeurs proportionnelles.

La définition de fonction linéaire et antécédentsrepose sur plusieurs concepts clés. Une fonction linéaire se caractérise par une formule du type f(x) = ax, où 'a'... Affiche plus

Chapitre 9: Fonctions
I/Notion
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Les Bases des Fonctions Mathématiques

Une fonction mathématique représente un processus fondamental qui associe des nombres entre eux de manière unique. Pour comprendre la définition de fonction linéaire et antécédents, il est essentiel de maîtriser plusieurs concepts de base.

Pour définir une fonction, trois méthodes principales sont disponibles. La première utilise une phrase descriptive, comme "à tout nombre x, on associe son double". La deuxième emploie une notation symbolique f:x2xf:x→2x, tandis que la troisième utilise une égalité de type fxx=2x.

Définition: Une fonction est un procédé qui associe à chaque nombre d'entrée au plus un nombre de sortie.

Pour comment trouver l'image d'un nombre par une fonction, il suffit de remplacer la variable x par le nombre souhaité dans l'expression de la fonction. Les images se lisent sur l'axe vertical ordonneˊesordonnées dans une représentation graphique, tandis que les antécédents se trouvent sur l'axe horizontal abscissesabscisses.

Exemple: Pour la fonction fxx=2x, l'image de 3 est f33=2×3=6

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La Proportionnalité et les Fonctions Linéaires

Le tableau de proportionnalité et quatrième proportionnelle constitue un outil essentiel pour comprendre les relations de proportionnalité. Dans un tel tableau, quatre nombres non nuls a,b,c,da, b, c, d sont liés par la relation fondamentale ad=bc, appelée "produit en croix".

Astuce: Pour calculer la quatrième proportionnelle d dans un tableau de proportionnalité, utilisez la formule d=b×cb×c/a

La fonction linéaire représente mathématiquement une situation de proportionnalité. Elle s'écrit sous la forme fxx=ax, où a est le coefficient de proportionnalité. Cette fonction traduit une relation directement proportionnelle entre deux grandeurs.

Définition: Une fonction linéaire est une fonction de la forme fxx=ax où a est un nombre non nul.

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Détermination et Utilisation des Fonctions Linéaires

Pour déterminer l'expression d'une fonction linéaire, il est crucial de comprendre que le coefficient a s'obtient en divisant une image par son antécédent. Cette propriété découle directement de la proportionnalité.

La recherche d'images et d'antécédents peut s'effectuer de deux manières distinctes. La première utilise l'expression algébrique de la fonction, tandis que la seconde s'appuie sur sa représentation graphique.

Exemple: Pour fxx=-1,3x, l'image de -5 est f5-5=-1,3×5-5=6,5

La représentation graphique d'une fonction linéaire est toujours une droite passant par l'origine du repère, ce qui facilite la lecture des images et des antécédents.

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Les Fonctions Affines et Leurs Applications

Les fonctions affines généralisent les fonctions linéaires en ajoutant une constante. Une fonction affine s'écrit sous la forme fxx=ax+b, où a et b sont des nombres réels. Elle englobe deux cas particuliers importants : les fonctions linéaires b=0b=0 et les fonctions constantes a=0a=0.

Application: Dans une location de voiture à 43€ par jour avec une caution de 120€, le coût total suit la fonction affine fxx=43x+120

Ces fonctions trouvent de nombreuses applications dans la vie quotidienne, notamment dans les contextes économiques comme le calcul de prix, de taxes ou de revenus. Elles permettent de modéliser des situations où une grandeur varie de manière régulière avec une valeur initiale non nulle.

Exemple: Un salaire avec part fixe et commission suit une fonction affine : fxx=ax+b où a est le taux de commission et b le salaire fixe.

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Comprendre les Fonctions Affines et Leur Représentation Graphique

Une fonction affine est un concept mathématique fondamental qui s'exprime sous la forme fxx = ax + b, où a et b sont des nombres constants. La représentation graphique d'une fonction affine est toujours une droite, ce qui la rend particulièrement intéressante à étudier.

Définition: Une fonction affine se caractérise par deux éléments essentiels :

  • Le coefficient directeur aa qui détermine la pente de la droite
  • L'ordonnée à l'origine bb qui indique le point où la droite coupe l'axe des ordonnées

Pour représenter graphiquement une fonction affine, il faut d'abord identifier le point d'intersection avec l'axe des ordonnées, qui a pour coordonnées 0,b0,b. Ensuite, on peut déterminer un second point en calculant l'image d'un nombre par la fonction. Plus ce second point est éloigné de l'origine, plus le tracé sera précis.

Exemple: Pour la fonction fxx = 2x + 1

  • Le point B0,10,1 est l'intersection avec l'axe des ordonnées
  • Pour x = 5, f55 = 2×5 + 1 = 11, donnant le point A5,115,11
  • La droite passant par ces deux points est la représentation graphique de la fonction
Chapitre 9: Fonctions
I/Notion
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Détermination Graphique des Paramètres d'une Fonction Affine

La détermination graphique des paramètres a et b d'une fonction affine nécessite une analyse précise de la droite qui la représente. Cette méthode permet de retrouver l'expression algébrique de la fonction à partir de sa représentation graphique.

Pour déterminer le coefficient directeur a graphiquement, on utilise deux points distincts de la droite, Axa,yaxₐ,yₐ et Bxβ,yβxᵦ,yᵦ. Le coefficient a est alors calculé par le rapport :

Formule: a = yayβyₐ - yᵦ/xaxβxₐ - xᵦ Cette formule représente la pente de la droite, calculée comme le rapport entre la différence des ordonnées et la différence des abscisses.

L'ordonnée à l'origine b se lit directement sur le graphique : c'est l'ordonnée du point d'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées axeverticalaxe vertical.

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Calcul Algébrique des Paramètres d'une Fonction Affine

La détermination algébrique des paramètres d'une fonction affine repose sur l'utilisation de points connus appartenant à la droite. Cette méthode est particulièrement utile lorsqu'on dispose des coordonnées précises de points.

Méthode: Pour déterminer a et b algébriquement :

  1. Utiliser deux points pour calculer a : a = f(x1)f(x2)f(x₁) - f(x₂)/x1x2x₁ - x₂
  2. Utiliser un point et la valeur de a pour calculer b : b = fx1x₁ - ax₁

Par exemple, si l'on sait qu'une fonction affine a pour coefficient directeur 2 et que f33 = 4, on peut écrire : fxx = 2x + b 4 = 2×3 + b Donc b = 4 - 6 = -2 La fonction est donc fxx = 2x - 2

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L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

Stefan S

utilisateur iOS

Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

Samantha Klich

utilisatrice Android

Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

Anna

utilisatrice iOS

Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

Thomas R

utilisateur d' Android

super application pour réviser je révise tout les soirs

Esteban M

utilisateur d'Android

Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

utilisateur d'Android

L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

utilisateur Android

Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

Greenlight Bonnie

utilisateur Android

PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰

Khady

utilisatrice d'Android

Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

utilisatrice iOS

C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

Raoul

utilisateur IOS

Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands

Ella

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L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

Stefan S

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Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

Samantha Klich

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Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

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Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

Thomas R

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super application pour réviser je révise tout les soirs

Esteban M

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Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

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L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

utilisateur Android

Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

Greenlight Bonnie

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PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰

Khady

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Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

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C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

Raoul

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Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands

Ella

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