Continuité et Applications

Tu sais quand tu traces une courbe sans lever ton crayon ? C'est exactement ça, la continuité ! Une fonction f est continue en un point a quand sa limite en ce point égale sa valeur : $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$.

Sur un intervalle I, f est continue si elle l'est en chaque point de cet intervalle. Graphiquement, ça donne une courbe d'un seul tenant, sans "trous" ni "sauts".

Les fonctions polynômes, racine carrée, exponentielle et valeur absolue sont toutes continues. Bonus : si tu peux dériver une fonction, alors elle est forcément continue ! C'est un raccourci super utile pour tes exercices.

💡 Astuce : Si une fonction est dérivable, elle est automatiquement continue. L'inverse n'est pas toujours vrai !

Le théorème des valeurs intermédiaires te dit qu'entre deux points d'une fonction continue, tu peux atteindre toutes les valeurs comprises entre f(a) et f(b). Il existe toujours un point c où f(c) = k pour n'importe quelle valeur k entre f(a) et f(b).

Le théorème de la bijection va plus loin : il garantit qu'il existe une solution unique à l'équation f(x) = k sur un intervalle donné, quand la fonction est continue et strictement monotone.