Raisonnement par récurrence

Le raisonnement par récurrence est ta méthode de référence pour prouver qu'une propriété P$n$ est vraie pour tous les entiers naturels. C'est comme gravir un escalier infini en trois étapes clés.

D'abord, tu vérifies que P(0) est vraie - c'est l'initialisation. Ensuite, tu supposes que P$k$ est vraie pour un entier k quelconque et tu démontres que cela implique P$k+1$ - c'est l'hérédité.

💡 Astuce : Pense à la récurrence comme à un effet domino : si le premier tombe (initialisation) et que chaque domino fait tomber le suivant (hérédité), alors tous tombent !

Enfin, tu conclus par l'axiome de récurrence que P$n$ est vraie pour tout n dans ℕ. Cette structure en trois temps est incontournable.

Convexité des fonctions

La convexité d'une fonction se détermine de plusieurs façons équivalentes que tu dois connaître par cœur. Une fonction f est convexe sur un intervalle I quand sa dérivée f' est croissante, ou encore quand sa dérivée seconde f'' est positive.

Visuellement, f est convexe quand sa courbe reste au-dessus de toutes ses tangentes, ou quand tout arc de courbe se situe en-dessous de la corde qui le sous-tend. Pour la concavité, c'est exactement l'inverse !

💡 Mémo : Convexe = "sourire" (f'' > 0), Concave = "tristesse" (f'' < 0)

Ces critères te permettent d'étudier rapidement la forme d'une courbe sans avoir à la tracer entièrement.

Limites de suites et produits scalaires

Le théorème de l'encadrement est ton meilleur ami pour les limites : si une suite (wₙ) est coincée entre deux suites (uₙ) et (vₙ) qui convergent vers la même limite l, alors (wₙ) converge aussi vers l.

Retiens aussi qu'une suite croissante et majorée converge toujours, de même qu'une suite décroissante et minorée.

Pour les produits scalaires, tu as quatre formules selon le contexte : avec les coordonnées (xx' + yy' + zz'), avec la norme et les longueurs, avec l'angle et le cosinus, ou par projection orthogonale.

💡 Orthogonalité : Une droite est perpendiculaire à un plan si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.

Dérivation et suites particulières

Les formules de dérivation sont tes outils de base : (uⁿ)' = nu'uⁿ⁻¹, $1/u$' = -u'/u², (√u)' = u'/(2√u), (eᵘ)' = u'eᵘ. Pour les produits : (uv)' = u'v + uv', pour les quotients : (u/v)' = $u'v - uv'$/v².

Pour étudier la convexité, calcule f''$x$ et étudie son signe. Si f''$x$ > 0, alors f est convexe ; si f''$x$ < 0, alors f est concave.

Les suites arithmétiques (uₙ = u₀ + nr) et géométriques (uₙ = u₀ × qⁿ) ont leurs propres formules pour les sommes et les limites.

💡 Limites géométriques : Si |q| < 1, alors qⁿ → 0 et la somme infinie vaut u₀/$1-q$.

Étude des variations par la dérivée

Pour étudier le sens de variation d'une fonction, la méthode générale passe toujours par l'étude du signe de f'$x$. Tu dérives f, tu détermines le signe de f', puis tu conclus sur les variations.

Parfois le signe de f'$x$ est évident (somme de termes positifs, carré, exponentielle...). D'autres fois, tu dois factoriser f'$x$ sous forme de produit ou l'écrire sous forme de quotient pour appliquer la règle des signes.

💡 Vérification : Utilise ta calculatrice pour contrôler la cohérence de tes résultats !

N'oublie pas que pour un tableau de variations complet, il faut indiquer les images aux points critiques, les zéros de la dérivée (tangentes horizontales), et placer des doubles barres aux valeurs interdites.