Factorisation et identités remarquables

Quand tu vois une équation du second degré, commence toujours par chercher un facteur commun ! C'est souvent le chemin le plus rapide vers la solution.

Pour $3x^2 - 3 = 0$, on factorise d'abord par 3 : $3(x^2 - 1) = 0$. Puis on reconnaît l'identité remarquable $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$, ce qui donne $(x+1)(x-1) = 0$. Du coup, $x = -1$ ou $x = 1$.

Même principe pour $x^2 + 5x = 0$ : ici, $x$ est le facteur commun. On obtient $x(x + 5) = 0$, donc $x = 0$ ou $x = -5$.

💡 Astuce importante : Quand tu passes à la racine carrée, n'oublie pas que $\sqrt{x^2} = |x|$ et non pas $x$ ! C'est pourquoi $x^2 = 1$ donne deux solutions : $x = 1$ et $x = -1$.

Pour les carrés parfaits comme $9x^2 - 24x + 16 = 0$, cherche la forme $(a-b)^2$. Ici, $(3x-4)^2 = 0$ donne une seule solution : $x = \frac{4}{3}$.

Résolution par factorisation et analyse graphique

Les différences de carrés sont tes amies ! Pour $100x^2 - 81 = 0$, tu reconnais $(10x)^2 - 9^2$, ce qui se factorise en $(10x-9)(10x+9) = 0$. Solutions : $x = \frac{9}{10}$ et $x = -\frac{9}{10}$.

Parfois, tu peux deviner les solutions en testant des valeurs simples. Pour $x^2 + x - 12 = 0$, essaie $x = 3$ et $x = -4$ : ça marche !

Une fois que tu as les racines du polynôme, tu peux tracer son tableau de signes. Retiens cette règle : si $a > 0$ dans $ax^2 + bx + c$, la parabole "sourit" - elle est positive à l'extérieur des racines et négative entre elles.

📊 Méthode rapide : Pour une fonction $f(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a > 0$, trace ton tableau en plaçant + à l'extérieur des racines et - entre elles.

Donc pour $f(x) = x^2 + x - 12$ avec racines -4 et 3 : $f$ est positive sur $]-∞; -4[ ∪ ]3; +∞[$ et négative sur $]-4; 3[$.

Forme canonique et factorisation complète

La forme canonique $g(x) = a(x - α)^2 + β$ est super pratique ! Pour trouver α, utilise $α = \frac{-b}{2a}$, puis calcule $β = g(α)$.

Pour $g(x) = x^2 - 6x - 7$, on trouve $α = 3$ et $β = -16$. Donc $g(x) = (x-3)^2 - 16$. Résoudre $g(x) = 0$ devient alors $(x-3)^2 = 16$, soit $x-3 = ±4$, d'où $x = 7$ ou $x = -1$.

Attention au signe du coefficient principal ! Pour $P(x) = -x^2 + x + 2$, le coefficient $a = -1 < 0$. Après avoir trouvé les racines $x = -1$ et $x = 2$, la factorisation devient $P(x) = -(x+1)(x-2)$.

⚠️ Point crucial : Avec $a < 0$, la parabole est "triste" - elle est négative à l'extérieur des racines et positive entre elles !

Le discriminant $Δ = b^2 - 4ac$ te dit tout : si $Δ > 0$, tu as 2 solutions ; si $Δ = 0$, une solution double ; si $Δ < 0$, pas de solution réelle.

Calculs avec le discriminant

Le discriminant $Δ = b^2 - 4ac$ est ton meilleur ami pour résoudre rapidement ! Si $Δ < 0$, inutile de chercher plus loin : pas de solution réelle.

Pour $x^2 + x + 1 = 0$, on a $Δ = 1 - 4 = -3 < 0$. Pas de solution ! Même chose pour $45x^2 + 5 = 0$ : on peut factoriser par 5 pour obtenir $5(9x^2 + 1) = 0$, mais $9x^2 + 1$ ne peut jamais être nul (toujours positif).

Quand $Δ > 0$, utilise les formules : $x_1 = \frac{-b - \sqrt{Δ}}{2a}$ et $x_2 = \frac{-b + \sqrt{Δ}}{2a}$.

Pour $-2x^2 + 5x + 12 = 0$, on trouve $Δ = 25 + 96 = 121 = 11^2$. Les solutions sont $x_1 = 4$ et $x_2 = -\frac{3}{2}$.

🎯 Conseil pratique : Vérifie toujours si $Δ$ est un carré parfait - ça simplifie énormément les calculs !

Même avec des coefficients irrationnels comme dans $x^2\sqrt{2} - x - \sqrt{2} = 0$, la méthode fonctionne. Ici $Δ = 1 + 8 = 9$, donc solutions : $x = -1$ et $x = \sqrt{2}$.