Mathématiques

Techniques de Factorisation des Polynômes

Résolution par factorisation

304

•

9 janv. 2026

•

4 pages

Solution détaillée du Quiz sur les Polynômes du Second Degré

Coccinellle

@coccinotes

Tu vas découvrir comment résoudre les équations du second degré... Affiche plus

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Quiz
• Q1: Résoudre l'équation en utilisant la factorisation et les identités remarquables: 3x² - 3 = 0
Réponses: a) 2 solutions x=-1, x=1
b

Factorisation et identités remarquables

Quand tu vois une équation du second degré, commence toujours par chercher un facteur commun ! C'est souvent le chemin le plus rapide vers la solution.

Pour $3x^2 - 3 = 0$ , on factorise d'abord par 3 : $3(x^2 - 1) = 0$ . Puis on reconnaît l'identité remarquable $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ , ce qui donne $(x+1)(x-1) = 0$ . Du coup, $x = -1$ ou $x = 1$ .

Même principe pour $x^2 + 5x = 0$ : ici, $x$ est le facteur commun. On obtient $x(x + 5) = 0$ , donc $x = 0$ ou $x = -5$ .

💡 Astuce importante : Quand tu passes à la racine carrée, n'oublie pas que $\sqrt{x^2} = |x|$ et non pas $x$ ! C'est pourquoi $x^2 = 1$ donne deux solutions : $x = 1$ et $x = -1$ .

Pour les carrés parfaits comme $9x^2 - 24x + 16 = 0$ , cherche la forme $(a-b)^2$ . Ici, $(3x-4)^2 = 0$ donne une seule solution : $x = \frac{4}{3}$ .

Résolution par factorisation et analyse graphique

Les différences de carrés sont tes amies ! Pour $100x^2 - 81 = 0$ , tu reconnais $(10x)^2 - 9^2$ , ce qui se factorise en $(10x-9)(10x+9) = 0$ . Solutions : $x = \frac{9}{10}$ et $x = -\frac{9}{10}$ .

Parfois, tu peux deviner les solutions en testant des valeurs simples. Pour $x^2 + x - 12 = 0$ , essaie $x = 3$ et $x = -4$ : ça marche !

Une fois que tu as les racines du polynôme, tu peux tracer son tableau de signes. Retiens cette règle : si $a > 0$ dans $ax^2 + bx + c$ , la parabole "sourit" - elle est positive à l'extérieur des racines et négative entre elles.

📊 Méthode rapide : Pour une fonction $f(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a > 0$ , trace ton tableau en plaçant + à l'extérieur des racines et - entre elles.

Donc pour $f(x) = x^2 + x - 12$ avec racines -4 et 3 : $f$ est positive sur $]-∞; -4[ ∪ ]3; +∞[$ et négative sur $]-4; 3[$ .

Forme canonique et factorisation complète

La forme canonique $g(x) = a(x - α)^2 + β$ est super pratique ! Pour trouver α, utilise $α = \frac{-b}{2a}$ , puis calcule $β = g(α)$ .

Pour $g(x) = x^2 - 6x - 7$ , on trouve $α = 3$ et $β = -16$ . Donc $g(x) = (x-3)^2 - 16$ . Résoudre $g(x) = 0$ devient alors $(x-3)^2 = 16$ , soit $x-3 = ±4$ , d'où $x = 7$ ou $x = -1$ .

Attention au signe du coefficient principal ! Pour $P(x) = -x^2 + x + 2$ , le coefficient $a = -1 < 0$ . Après avoir trouvé les racines $x = -1$ et $x = 2$ , la factorisation devient $P(x) = -(x+1)(x-2)$ .

⚠️ Point crucial : Avec $a < 0$ , la parabole est "triste" - elle est négative à l'extérieur des racines et positive entre elles !

Le discriminant $Δ = b^2 - 4ac$ te dit tout : si $Δ > 0$ , tu as 2 solutions ; si $Δ = 0$ , une solution double ; si $Δ < 0$ , pas de solution réelle.

Calculs avec le discriminant

Le discriminant $Δ = b^2 - 4ac$ est ton meilleur ami pour résoudre rapidement ! Si $Δ < 0$ , inutile de chercher plus loin : pas de solution réelle.

Pour $x^2 + x + 1 = 0$ , on a $Δ = 1 - 4 = -3 < 0$ . Pas de solution ! Même chose pour $45x^2 + 5 = 0$ : on peut factoriser par 5 pour obtenir $5(9x^2 + 1) = 0$ , mais $9x^2 + 1$ ne peut jamais être nul (toujours positif).

Quand $Δ > 0$ , utilise les formules : $x_1 = \frac{-b - \sqrt{Δ}}{2a}$ et $x_2 = \frac{-b + \sqrt{Δ}}{2a}$ .

Pour $-2x^2 + 5x + 12 = 0$ , on trouve $Δ = 25 + 96 = 121 = 11^2$ . Les solutions sont $x_1 = 4$ et $x_2 = -\frac{3}{2}$ .

🎯 Conseil pratique : Vérifie toujours si $Δ$ est un carré parfait - ça simplifie énormément les calculs !

Même avec des coefficients irrationnels comme dans $x^2\sqrt{2} - x - \sqrt{2} = 0$ , la méthode fonctionne. Ici $Δ = 1 + 8 = 9$ , donc solutions : $x = -1$ et $x = \sqrt{2}$ .

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