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Cam_gty
23/11/2025
Maths
cours raisonnement par récurrence
709
•
23 nov. 2025
•
Cam_gty
@am_gty_ctqk
Le raisonnement par récurrence, c'est ta nouvelle arme secrète en... Affiche plus
Imagine que tu veux prouver que 2ⁿ > n+1 pour tous les entiers naturels. C'est parti !
L'initialisation consiste à vérifier que ta propriété marche pour n=0. Ici, 2⁰ = 1 et 0+1 = 1, donc on a 1 ≥ 1. C'est bon, ça marche au départ !
Pour l'hérédité, tu supposes que 2ⁿ > n+1 est vrai pour un certain n, et tu dois prouver que c'est aussi vrai pour n+1. En multipliant par 2 des deux côtés : 2×2ⁿ > 2×, ce qui donne 2ⁿ⁺¹ > 2n+2.
💡 Astuce : L'hérédité, c'est comme prouver que si un domino tombe, le suivant tombera aussi !
Puisque 2n+2 > n+2, ta propriété est héréditaire ! Conclusion : elle est vraie pour tout n ∈ ℕ.
Le principe de récurrence fonctionne toujours pareil : vérifie l'initialisation, puis prouve l'hérédité. C'est mathématiquement imparable !
Deuxième exemple concret : prouver qu'une suite est croissante. Pour la suite Uₙ définie par U₀ = 1 et Uₙ₊₁ = 2Uₙ + 1, tu veux montrer que Uₙ₊₁ > Uₙ.
Initialisation : U₁ = 2×1+1 = 3, et 3 > 1, donc U₁ > U₀. Check !
💡 Rappel : Une suite croissante, c'est quand chaque terme est plus grand que le précédent.
Pour l'hérédité, tu supposes que Uₙ₊₁ > Uₙ et tu dois montrer que Uₙ₊₂ > Uₙ₊₁.
Si Uₙ₊₁ > Uₙ, alors en multipliant par 2 : 2×Uₙ₊₁ > 2×Uₙ. En ajoutant 1 : 2×Uₙ₊₁ + 1 > 2×Uₙ + 1, soit Uₙ₊₂ > Uₙ₊₁.
Bingo ! La propriété est héréditaire, donc la suite est bien croissante pour tout n ∈ ℕ.
Troisième exemple : la célèbre formule 1 + 2 + ... + n = n/2. C'est la somme des n premiers entiers !
💡 Info pratique : Cette formule te servira souvent, apprends-la par cœur !
Initialisation pour n=1 : 1 = 1×(1+1)/2 = 1. L'égalité est vraie au rang 1.
Pour l'hérédité, suppose que 1+2+...+n = n/2. Tu veux prouver que 1+2+...+n+ = /2.
En partant de ton hypothèse : 1+2+...+n+ = n/2 + . En mettant au même dénominateur et factorisant : = /2.
C'est exactement ce qu'on voulait démontrer ! La propriété est donc vraie pour tout n ∈ ℕ*.
💡 Technique : Factoriser est souvent la clé pour simplifier tes calculs en récurrence.
Attention aux pièges ! Le rang d'initialisation n'est pas toujours 0 ou 1, lis bien l'énoncé.
Ne dis jamais "supposons la propriété vraie pour tout n" lors de l'hérédité - c'est exactement ce que tu veux prouver ! Tu supposes juste qu'elle est vraie pour un rang n donné.
Exemple piège : montrer que "4ⁿ + 1 est multiple de 3" est héréditaire. Même si l'hérédité marche, cette propriété n'est pas vraie pour tout n ∈ ℕ car elle est fausse au rang 0 !
La récurrence fonctionne pour les ensembles discrets (entiers naturels), pas pour les ensembles continus (nombres réels).
💡 Règle d'or : Vérifie toujours ton initialisation, c'est là que se cachent souvent les erreurs !
Notre compagnon IA est spécialement conçu pour répondre aux besoins des étudiants. Sur la base des millions d'éléments de contenu que nous avons sur la plateforme, nous pouvons fournir des réponses vraiment significatives et pertinentes aux étudiants. Mais il ne s'agit pas seulement de réponses, le compagnon a encore plus pour but de guider les élèves dans leurs défis d'apprentissage quotidiens, avec des plans d'étude personnalisés, des quiz ou des éléments de contenu dans le chat et une personnalisation à 100% basée sur les compétences et les développements de l'étudiant.
Tu peux télécharger l'application dans Google Play Store et dans l'App Store d'Apple.
Oui, tu as un accès entièrement gratuit à tous les contenus de l'appli, tu peux chatter ou suivre les créateurs à tout moment. De plus, nous proposons Knowunity Premium, qui te permet de réviser sans limites!
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Google Play
L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.
Stefan S
utilisateur iOS
Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.
Samantha Klich
utilisatrice Android
Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.
Anna
utilisatrice iOS
Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣
Thomas R
utilisateur d' Android
super application pour réviser je révise tout les soirs
Esteban M
utilisateur d'Android
Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment
Leny
utilisateur d'Android
L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !
Sudenaz Ocak
utilisateur Android
Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.
Greenlight Bonnie
utilisateur Android
PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰
Khady
utilisatrice d'Android
Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!
Claire
utilisatrice iOS
C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩
Raoul
utilisateur IOS
Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands
Ella
utilisatrice iOS
L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.
Stefan S
utilisateur iOS
Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.
Samantha Klich
utilisatrice Android
Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.
Anna
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Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣
Thomas R
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super application pour réviser je révise tout les soirs
Esteban M
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Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment
Leny
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L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !
Sudenaz Ocak
utilisateur Android
Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.
Greenlight Bonnie
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PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰
Khady
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Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!
Claire
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Cam_gty
@am_gty_ctqk
Le raisonnement par récurrence, c'est ta nouvelle arme secrète en maths ! Cette méthode super logique te permet de prouver qu'une propriété est vraie pour tous les entiers naturels, un peu comme un effet domino mathématique.
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Imagine que tu veux prouver que 2ⁿ > n+1 pour tous les entiers naturels. C'est parti !
L'initialisation consiste à vérifier que ta propriété marche pour n=0. Ici, 2⁰ = 1 et 0+1 = 1, donc on a 1 ≥ 1. C'est bon, ça marche au départ !
Pour l'hérédité, tu supposes que 2ⁿ > n+1 est vrai pour un certain n, et tu dois prouver que c'est aussi vrai pour n+1. En multipliant par 2 des deux côtés : 2×2ⁿ > 2×, ce qui donne 2ⁿ⁺¹ > 2n+2.
💡 Astuce : L'hérédité, c'est comme prouver que si un domino tombe, le suivant tombera aussi !
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Deuxième exemple concret : prouver qu'une suite est croissante. Pour la suite Uₙ définie par U₀ = 1 et Uₙ₊₁ = 2Uₙ + 1, tu veux montrer que Uₙ₊₁ > Uₙ.
Initialisation : U₁ = 2×1+1 = 3, et 3 > 1, donc U₁ > U₀. Check !
💡 Rappel : Une suite croissante, c'est quand chaque terme est plus grand que le précédent.
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Si Uₙ₊₁ > Uₙ, alors en multipliant par 2 : 2×Uₙ₊₁ > 2×Uₙ. En ajoutant 1 : 2×Uₙ₊₁ + 1 > 2×Uₙ + 1, soit Uₙ₊₂ > Uₙ₊₁.
Bingo ! La propriété est héréditaire, donc la suite est bien croissante pour tout n ∈ ℕ.
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Pour l'hérédité, suppose que 1+2+...+n = n/2. Tu veux prouver que 1+2+...+n+ = /2.
En partant de ton hypothèse : 1+2+...+n+ = n/2 + . En mettant au même dénominateur et factorisant : = /2.
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Exemple piège : montrer que "4ⁿ + 1 est multiple de 3" est héréditaire. Même si l'hérédité marche, cette propriété n'est pas vraie pour tout n ∈ ℕ car elle est fausse au rang 0 !
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Greenlight Bonnie
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L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.
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Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.
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