Table des matières - Les nombres complexes

Ce chapitre de maths expertes couvre trois grandes parties essentielles pour maîtriser les nombres complexes. Tu vas d'abord découvrir l'ensemble C et ses propriétés de base, puis explorer comment résoudre des polynômes dans cet ensemble.

La partie géométrie te montrera comment visualiser et manipuler les nombres complexes avec les formes trigonométrique et exponentielle. Ces outils sont particulièrement utiles pour les transformations géométriques et les rotations.

💡 À retenir : Les nombres complexes ne sont pas juste théoriques - ils ont des applications concrètes en physique, en électronique et en informatique !

L'ensemble des nombres complexes C

L'ensemble C des nombres complexes contient tous les nombres réels plus un nombre magique : i tel que i² = -1. C'est révolutionnaire car avant, on ne pouvait pas calculer la racine carrée d'un nombre négatif !

Imagine les ensembles de nombres comme des poupées russes : N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R ⊂ C. Chaque ensemble contient le précédent et ajoute de nouveaux nombres. L'ensemble C est le plus grand de tous ceux que tu connais.

Les nombres complexes obéissent aux mêmes règles de calcul que les nombres réels. Tu peux les additionner, les multiplier, les diviser - tout fonctionne naturellement !

💡 Astuce : Pense à i comme à une nouvelle "unité" de calcul, comme tu utilises x en algèbre.

Forme algébrique et égalité

Tout nombre complexe z s'écrit sous la forme algébrique z = x + iy où x et y sont réels. On appelle x la partie réelle Re(z) et y la partie imaginaire Im(z).

Si y = 0, ton nombre est réel $comme 3 + 0i = 3$. Si x = 0, il est imaginaire pur $comme 0 + 5i = 5i$. C'est aussi simple que ça !

Pour que deux nombres complexes soient égaux, leurs parties réelles ET leurs parties imaginaires doivent être égales séparément. Par contre, attention : tu ne peux pas dire qu'un nombre complexe est "plus grand" qu'un autre - il n'y a pas d'ordre dans C.

Le conjugué d'un nombre z = x + iy est z̄ = x - iy. Il suffit de changer le signe devant i !

💡 Méthode : Pour résoudre une équation avec des nombres complexes, sépare toujours les parties réelle et imaginaire.

Conjugué et module

Le conjugué suit des règles super pratiques : le conjugué d'une somme égale la somme des conjugués, idem pour les produits et quotients. Ces formules te feront gagner du temps dans tes calculs !

Quelques propriétés clés à retenir : z + z̄ = 2Re(z) et z - z̄ = 2i Im(z). Un nombre est réel si et seulement si il égale son conjugué.

Le module |z| = √$x² + y²$ mesure la "distance" de ton nombre complexe à l'origine. C'est comme calculer la longueur d'un vecteur ! Le module a des propriétés similaires à la valeur absolue.

Une formule magique : z × z̄ = |z|². Cette relation est fondamentale et te servira constamment pour simplifier les expressions.

💡 Truc : Pour diviser par un nombre complexe, multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur.

Retrouver les formules

Pas de panique si les formules du module et du conjugué te semblent nombreuses ! Tu peux toutes les retrouver par le calcul direct.

Exemple concret : pour prouver que z × z̄ = |z|², il suffit de poser z = x + iy et de développer $x + iy$$x - iy$ = x² + y². C'est exactement |z|² !

Cette approche te donne confiance : même si tu oublies une formule pendant un contrôle, tu peux la redémontrer rapidement.

💡 Conseil : Entraîne-toi à retrouver 2-3 formules importantes par le calcul pour bien comprendre leur origine.

Généralités sur les polynômes

Un polynôme de degré n dans C s'écrit P(z) = a₀ + a₁z + a₂z² + ... + aₙzⁿ. C'est exactement comme les polynômes que tu connais, mais maintenant z peut être complexe !

Une racine d'un polynôme P est un nombre a tel que P(a) = 0. Le théorème fondamental de l'algèbre garantit qu'un polynôme de degré n a au plus n racines complexes - c'est rassurant !

La formule du binôme de Newton $a+b$ⁿ = Σ(n choose k)aᵏbⁿ⁻ᵏ s'étend naturellement aux nombres complexes. Elle te permet de développer facilement des puissances.

Cette formule vient du dénombrement : quand tu développes $a+b$ⁿ, tu choisis soit a soit b dans chaque facteur, et il y a (n choose k) façons de choisir a exactement k fois.

💡 Application : La formule du binôme est particulièrement utile pour calculer des puissances de nombres complexes sous forme algébrique.

Résolution d'équations du second degré

Bonne nouvelle : tu peux résoudre TOUTES les équations du second degré az² + bz + c = 0 dans C, même quand le discriminant Δ = b² - 4ac est négatif !

Si Δ < 0, les solutions sont z₁ = $-b - i√(-Δ)$/(2a) et z₂ = $-b + i√(-Δ)$/(2a). Ces deux solutions sont conjuguées l'une de l'autre.

Méthode pratique : calcule Δ normalement, puis si Δ < 0, écris Δ = -|Δ| = |Δ|i². Tu peux alors écrire √Δ = i√|Δ| et appliquer les formules habituelles.

Exemple : pour -2z² + 4z - 10 = 0, on trouve Δ = -64 = (8i)², donc les solutions sont 1 + 2i et 1 - 2i.

💡 À retenir : Dans C, toute équation du second degré a toujours exactement 2 solutions (comptées avec multiplicité).

Factorisation par les racines

Si a est une racine d'un polynôme P de degré n, alors P(z) = $z-a$Q(z) où Q est un polynôme de degré n-1. Cette propriété est fondamentale pour factoriser !

Méthode systématique : trouve une racine évidente $souvent 0, 1, -1, i, -i$, puis effectue la division euclidienne pour trouver Q(z). Répète le processus sur Q si possible.

Pour déterminer Q(z), tu peux poser Q(z) = az² + bz + c et développer $z-a$Q(z). Ensuite, identifie les coefficients avec ceux de P(z).

Cette technique te permet de factoriser complètement un polynôme en trouvant toutes ses racines une par une.

💡 Stratégie : Commence toujours par tester les racines "simples" comme ±1, ±i avant de chercher des racines plus compliquées.

Exemple de factorisation complète

Factorisons P(z) = z³ - z² + z - 1 étape par étape. D'abord, testons z = 1 : P(1) = 1 - 1 + 1 - 1 = 0. Parfait, 1 est racine !

On peut écrire P(z) = $z-1$Q(z) avec Q de degré 2. Pour trouver Q(z) = az² + bz + c, développons et identifions les coefficients : on trouve Q(z) = z² + 1.

Factorisons maintenant Q(z) = z² + 1. Son discriminant est -4, donc ses racines sont i et -i. Ainsi Q(z) = $z-i$$z+i$.

Résultat final : P(z) = $z-1$$z-i$$z+i$. Tu as complètement factorisé le polynôme en produit de facteurs de degré 1 !

💡 Bon à savoir : Tout polynôme à coefficients réels se factorise complètement dans C en facteurs de degré 1.

Formes trigonométrique et exponentielle

Tout nombre complexe peut s'écrire sous trois formes : algébrique z = x + iy, trigonométrique z = |z|$cos θ + i sin θ$, et exponentielle z = |z|e^(iθ).

Pour passer à la forme trigonométrique : calcule d'abord |z| = √$x² + y²$, puis trouve l'argument θ tel que cos θ = x/|z| et sin θ = y/|z|.

La formule d'Euler e^(iθ) = cos θ + i sin θ fait le pont entre exponentielle et trigonométrique. C'est l'une des plus belles formules des mathématiques !

Exemple avec z = 1 + i : |z| = √2, puis cos θ = sin θ = √2/2 donc θ = π/4. Résultat : z = √2 e^$iπ/4$.

💡 Avantage : La forme exponentielle simplifie énormément les calculs de puissances et de produits de nombres complexes !