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Méthode de Démonstration par Récurrence

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Margaux 🥂🪩

06/12/2025

Maths

Démonstration par Récurrence

Matières

Maths

77

•

6 déc. 2025

•

2 pages

Méthode de Démonstration par Récurrence

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Margaux 🥂🪩

@marg_.clmb

La démonstration par récurrence est une méthode super utile pour... Affiche plus

DEMONSTRATION PAR RECURENCE DEMONSTRATION D'UNE ÉGALITÉ . On note pour n EN, P(n): =7-3×2" •Initialisation pour n = 0 7-329-3× 2° 7-311 =4 D

Les bases de la récurrence : égalité et inégalité

La démonstration par récurrence suit toujours la même structure en trois étapes. D'abord l'initialisation où tu vérifies que ta propriété P(n) est vraie pour la première valeur souventn=0oun=1souvent n=0 ou n=1.

Ensuite vient l'hérédité : tu supposes que P(k) est vraie pour un certain k, et tu démontres que Pk+1k+1 est aussi vraie. C'est le cœur de la méthode ! Si tu arrives à franchir cette étape, tu peux être sûr que la propriété se transmet de proche en proche.

Pour une égalité comme 7−3×2n=2n+27 - 3 \times 2^n = 2^{n+2}, tu manipules algébriquement les expressions. Pour une inégalité comme 3n≥2n+13^n \ge 2n + 1, tu utilises souvent le fait que multiplier une inégalité par un nombre positif la preserve.

Astuce pratique : Pour l'hérédité, écris toujours clairement ce que tu supposes vrai (hypothèse de récurrence) et ce que tu veux démontrer.

DEMONSTRATION PAR RECURENCE DEMONSTRATION D'UNE ÉGALITÉ . On note pour n EN, P(n): =7-3×2" •Initialisation pour n = 0 7-329-3× 2° 7-311 =4 D

Démontrer une formule de somme

Les formules de sommes sont parfaites pour s'entraîner à la récurrence ! Prenons l'exemple classique : 1+2+3+...+n=n(n+1)21+2+3+...+n = \frac{n(n+1)}{2}. Cette formule te donne directement la somme des n premiers entiers.

Pour l'initialisation avec n=1, c'est du gâteau : S1=1S_1 = 1 et 1×22=1\frac{1 \times 2}{2} = 1. Ça marche !

L'étape d'hérédité est plus subtile. Tu pars de Sk+1=Sk+(k+1)S_{k+1} = S_k + (k+1), puis tu remplaces SkS_k par sa formule grâce à ton hypothèse de récurrence. Ensuite, tu factorises intelligemment pour retrouver la forme attendue : (k+1)(k+2)2\frac{(k+1)(k+2)}{2}.

Point clé : Dans une somme, Sk+1S_{k+1} s'obtient toujours en ajoutant le terme suivant à SkS_k. C'est ton point de départ pour l'hérédité.



Si on te demande...

Qu'est-ce que le compagnon IA de Knowunity ?

Notre compagnon IA est spécialement conçu pour répondre aux besoins des étudiants. Sur la base des millions d'éléments de contenu que nous avons sur la plateforme, nous pouvons fournir des réponses vraiment significatives et pertinentes aux étudiants. Mais il ne s'agit pas seulement de réponses, le compagnon a encore plus pour but de guider les élèves dans leurs défis d'apprentissage quotidiens, avec des plans d'étude personnalisés, des quiz ou des éléments de contenu dans le chat et une personnalisation à 100% basée sur les compétences et les développements de l'étudiant.

Où puis-je télécharger l'application Knowunity ?

Tu peux télécharger l'application dans Google Play Store et dans l'App Store d'Apple.

L'application est-elle vraiment gratuite ?

Oui, tu as un accès entièrement gratuit à tous les contenus de l'appli, tu peux chatter ou suivre les créateurs à tout moment. De plus, nous proposons Knowunity Premium, qui te permet de réviser sans limites!

Rien ne te convient ? Explore d'autres matières.

Les étudiants nous adorent — il ne manque plus que toi.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

Stefan S

utilisateur iOS

Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

Samantha Klich

utilisatrice Android

Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

Anna

utilisatrice iOS

Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

Thomas R

utilisateur d' Android

super application pour réviser je révise tout les soirs

Esteban M

utilisateur d'Android

Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

utilisateur d'Android

L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

utilisateur Android

Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

Greenlight Bonnie

utilisateur Android

PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰

Khady

utilisatrice d'Android

Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

utilisatrice iOS

C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

Raoul

utilisateur IOS

Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands

Ella

utilisatrice iOS

L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

Stefan S

utilisateur iOS

Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

Samantha Klich

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Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

Anna

utilisatrice iOS

Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

Thomas R

utilisateur d' Android

super application pour réviser je révise tout les soirs

Esteban M

utilisateur d'Android

Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

utilisateur d'Android

L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

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Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

Greenlight Bonnie

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PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰

Khady

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Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

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C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

Raoul

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Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands

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La démonstration par récurrence est une méthode super utile pour prouver qu'une propriété est vraie pour tous les entiers naturels. C'est comme gravir une échelle infinie : tu vérifies que tu peux monter sur le premier barreau, puis que si... Affiche plus

DEMONSTRATION PAR RECURENCE DEMONSTRATION D'UNE ÉGALITÉ . On note pour n EN, P(n): =7-3×2" •Initialisation pour n = 0 7-329-3× 2° 7-311 =4 D

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Les bases de la récurrence : égalité et inégalité

La démonstration par récurrence suit toujours la même structure en trois étapes. D'abord l'initialisation où tu vérifies que ta propriété P(n) est vraie pour la première valeur souventn=0oun=1souvent n=0 ou n=1.

Ensuite vient l'hérédité : tu supposes que P(k) est vraie pour un certain k, et tu démontres que Pk+1k+1 est aussi vraie. C'est le cœur de la méthode ! Si tu arrives à franchir cette étape, tu peux être sûr que la propriété se transmet de proche en proche.

Pour une égalité comme 7−3×2n=2n+27 - 3 \times 2^n = 2^{n+2}, tu manipules algébriquement les expressions. Pour une inégalité comme 3n≥2n+13^n \ge 2n + 1, tu utilises souvent le fait que multiplier une inégalité par un nombre positif la preserve.

Astuce pratique : Pour l'hérédité, écris toujours clairement ce que tu supposes vrai (hypothèse de récurrence) et ce que tu veux démontrer.

DEMONSTRATION PAR RECURENCE DEMONSTRATION D'UNE ÉGALITÉ . On note pour n EN, P(n): =7-3×2" •Initialisation pour n = 0 7-329-3× 2° 7-311 =4 D

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Démontrer une formule de somme

Les formules de sommes sont parfaites pour s'entraîner à la récurrence ! Prenons l'exemple classique : 1+2+3+...+n=n(n+1)21+2+3+...+n = \frac{n(n+1)}{2}. Cette formule te donne directement la somme des n premiers entiers.

Pour l'initialisation avec n=1, c'est du gâteau : S1=1S_1 = 1 et 1×22=1\frac{1 \times 2}{2} = 1. Ça marche !

L'étape d'hérédité est plus subtile. Tu pars de Sk+1=Sk+(k+1)S_{k+1} = S_k + (k+1), puis tu remplaces SkS_k par sa formule grâce à ton hypothèse de récurrence. Ensuite, tu factorises intelligemment pour retrouver la forme attendue : (k+1)(k+2)2\frac{(k+1)(k+2)}{2}.

Point clé : Dans une somme, Sk+1S_{k+1} s'obtient toujours en ajoutant le terme suivant à SkS_k. C'est ton point de départ pour l'hérédité.

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Stefan S

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Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

Samantha Klich

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Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

Anna

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Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

Thomas R

utilisateur d' Android

super application pour réviser je révise tout les soirs

Esteban M

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Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

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L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

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Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

Greenlight Bonnie

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Khady

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Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

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C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

Raoul

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Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands

Ella

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L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

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Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

Samantha Klich

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Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

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super application pour réviser je révise tout les soirs

Esteban M

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Leny

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L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

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Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

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Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

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C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

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