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Maths
28 nov. 2025
88
1 page
Orianne @studywithorianne
Ce document traite de la démonstration par récurrence en mathématiques, une méthode fondamentale pour prouver qu'une propriété est... Affiche plus
La démonstration par récurrence est une technique puissante pour prouver des formules mathématiques. Elle fonctionne en deux étapes essentielles l'initialisation (vérifier que la propriété est vraie pour le premier terme) et l'hérédité .
Prenons la suite définie par U₀ = 0 et Uₙ₊₁ = 2Uₙ + 1. On démontre que pour tout n ∈ ℕ, Uₙ = 2ⁿ - 1. Pour l'initialisation avec n = 0, on vérifie que U₀ = 0 = 2⁰ - 1. Pour l'hérédité, supposons Uₙ = 2ⁿ - 1 pour un certain n, alors Uₙ₊₁ = 2(2ⁿ - 1) + 1 = 2ⁿ⁺¹ - 2 + 1 = 2ⁿ⁺¹ - 1. La propriété est donc héréditaire.
Une autre démonstration concerne la suite définie par U₀ = 3 et Uₙ₊₁ = 2Uₙ + 5. On prouve que pour tout n ∈ ℕ, Uₙ ≥ 0. L'initialisation est vraie car U₀ = 3 > 0. Pour l'hérédité, si Uₙ ≥ 0, alors Uₙ₊₁ = 2Uₙ + 5 ≥ 2×0 + 5 = 5 > 0.
Astuce pratique Pour réussir une démonstration par récurrence, assurez-vous de bien identifier la propriété Pₙ à démontrer et de traiter rigoureusement les deux étapes (initialisation et hérédité).
Le document montre aussi comment utiliser la récurrence pour prouver une formule de sommation 1×2 + 2×3 + ... + n = /3. Cette formule est vérifiée pour n = 1 puis démontrée par récurrence en ajoutant le terme à l'hypothèse de récurrence.
Notre compagnon IA est spécialement conçu pour répondre aux besoins des étudiants. Sur la base des millions d'éléments de contenu que nous avons sur la plateforme, nous pouvons fournir des réponses vraiment significatives et pertinentes aux étudiants. Mais il ne s'agit pas seulement de réponses, le compagnon a encore plus pour but de guider les élèves dans leurs défis d'apprentissage quotidiens, avec des plans d'étude personnalisés, des quiz ou des éléments de contenu dans le chat et une personnalisation à 100% basée sur les compétences et les développements de l'étudiant.
Tu peux télécharger l'application dans Google Play Store et dans l'App Store d'Apple.
Oui, tu as un accès entièrement gratuit à tous les contenus de l'appli, tu peux chatter ou suivre les créateurs à tout moment. De plus, nous proposons Knowunity Premium, qui te permet de réviser sans limites!
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Outils Intelligents NOUVEAU
Transforme cette fiche en : ✓ 50+ Questions d'Entraînement ✓ Cartes Mémoire Interactives ✓ Examen Blanc Complet ✓ Plans de Dissertation
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Google Play
L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.
Stefan S
utilisateur iOS
Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.
Samantha Klich
utilisatrice Android
Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.
Anna
utilisatrice iOS
Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣
Thomas R
utilisateur d' Android
super application pour réviser je révise tout les soirs
Esteban M
utilisateur d'Android
Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment
Leny
utilisateur d'Android
L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !
Sudenaz Ocak
utilisateur Android
Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.
Greenlight Bonnie
utilisateur Android
PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰
Khady
utilisatrice d'Android
Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!
Claire
utilisatrice iOS
C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩
Raoul
utilisateur IOS
Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands
Ella
utilisatrice iOS
L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.
Stefan S
utilisateur iOS
Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.
Samantha Klich
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Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.
Anna
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Sudenaz Ocak
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Orianne
@studywithorianne
Ce document traite de la démonstration par récurrence en mathématiques, une méthode fondamentale pour prouver qu'une propriété est vraie pour tous les entiers naturels. Nous explorons son application à différentes suites numériques et formules de sommation.
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La démonstration par récurrence est une technique puissante pour prouver des formules mathématiques. Elle fonctionne en deux étapes essentielles : l'initialisation (vérifier que la propriété est vraie pour le premier terme) et l'hérédité .
Prenons la suite définie par U₀ = 0 et Uₙ₊₁ = 2Uₙ + 1. On démontre que pour tout n ∈ ℕ, Uₙ = 2ⁿ - 1. Pour l'initialisation avec n = 0, on vérifie que U₀ = 0 = 2⁰ - 1. Pour l'hérédité, supposons Uₙ = 2ⁿ - 1 pour un certain n, alors Uₙ₊₁ = 2(2ⁿ - 1) + 1 = 2ⁿ⁺¹ - 2 + 1 = 2ⁿ⁺¹ - 1. La propriété est donc héréditaire.
Une autre démonstration concerne la suite définie par U₀ = 3 et Uₙ₊₁ = 2Uₙ + 5. On prouve que pour tout n ∈ ℕ, Uₙ ≥ 0. L'initialisation est vraie car U₀ = 3 > 0. Pour l'hérédité, si Uₙ ≥ 0, alors Uₙ₊₁ = 2Uₙ + 5 ≥ 2×0 + 5 = 5 > 0.
Astuce pratique : Pour réussir une démonstration par récurrence, assurez-vous de bien identifier la propriété Pₙ à démontrer et de traiter rigoureusement les deux étapes (initialisation et hérédité).
Le document montre aussi comment utiliser la récurrence pour prouver une formule de sommation : 1×2 + 2×3 + ... + n = /3. Cette formule est vérifiée pour n = 1 puis démontrée par récurrence en ajoutant le terme à l'hypothèse de récurrence.
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Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.
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Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.
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Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment
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