Comprendre les Dérivés et les Tangentes

Les bases de la dérivation

Le nombre dérivé d'une fonction en un point représente le taux de variation instantané de cette fonction. Mathématiquement, c'est la limite du taux de variation entre deux points quand ils se rapprochent :

$\lim_{h→0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} = f'(a)$

On dit qu'une fonction est dérivable sur un intervalle I lorsqu'elle est dérivable en chaque point de cet intervalle. La fonction dérivée $f'$ associe à tout réel $x$ de I le nombre dérivé $f'(x)$.

💡 La dérivée d'une fonction en un point vous donne instantanément la pente de la tangente à la courbe en ce point !

Quand une fonction $f$ est dérivable en un point d'abscisse $a$, l'équation de la tangente à la courbe en ce point s'écrit : $y = f'(a)(x-a)+f(a)$

Par exemple, pour la fonction $f(x)= \frac{1}{x}$, sa dérivée est $f'(x)= -\frac{1}{x^2}$. Au point d'abscisse 2, on a $f(2)= \frac{1}{2}$ et $f'(2)= -\frac{1}{4}$.

Applications et formules importantes

Pour calculer l'équation de la tangente à la courbe $f(x)=\frac{1}{x}$ au point d'abscisse 2, on applique la formule : $y = f'(2)(x-2) + f(2) = -0,25(x-2) + 0,5 = -0,25x + 1$

Voici les formules de dérivation pour les principales fonctions :

• Pour une fonction constante $f(x) = b$ : $f'(x) = 0$
• Pour une fonction affine $f(x) = ax + b$ : $f'(x) = a$
• Pour la fonction carré $f(x) = x^2$ : $f'(x) = 2x$
• Pour une fonction puissance $f(x) = x^n$ : $f'(x) = nx^{n-1}$
• Pour la fonction inverse $f(x) = \frac{1}{x}$ : $f'(x) = -\frac{1}{x^2}$
• Pour la fonction racine carrée $f(x) = \sqrt{x}$ : $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

🔍 Ces formules de dérivation sont vos outils essentiels ! Mémorisez-les bien et vous gagnerez un temps précieux lors des exercices et des contrôles.

Tu remarqueras que la dérivation des fonctions puissance suit un schéma logique : on multiplie par l'exposant et on diminue cet exposant d'une unité.