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4 déc. 2025

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Dérivation et Applications

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La dérivation, c'est l'outil mathématique qui te permet de mesurer comment une fonction "change" en chaque point. Imagine... Affiche plus

# dérivation I NOMBRE DÉRIVÉ, TANGENTE A LA COURBE D'UNE FONCTION E'N UN POINT Définition soit f une fonction définie sur une intervalle I

Nombre dérivé et tangente

Tu sais déjà intuitivement ce qu'est une dérivée ! Quand tu regardes la courbe d'une fonction, le nombre dérivé en un point te dit à quel point la courbe "monte" ou "descend" à cet endroit précis.

Le taux de variation entre deux points, c'est la formule Tf,x0(h)=f(x0+h)−f(x0)hT_{f,x_0}(h) = \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}. Pense à ça comme la pente entre deux points sur ta courbe. Quand ces deux points se rapprochent (h tend vers 0), tu obtiens le nombre dérivé f′(x0)f'(x_0).

Pour les fonctions affines f(x)=ax+bf(x) = ax + b, c'est super simple la dérivée est toujours égale à aa, le coefficient directeur ! Logique, puisque la pente ne change jamais sur une droite.

La tangente à une courbe en un point, c'est la droite qui "colle" parfaitement à la courbe à cet endroit. Son équation y=f′(x0)(x−x0)+f(x0)y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0).

💡 **Astuce ** La tangente, c'est comme si tu "zoomais" énormément sur un point de la courbe - elle finirait par ressembler à une droite !

# dérivation I NOMBRE DÉRIVÉ, TANGENTE A LA COURBE D'UNE FONCTION E'N UN POINT Définition soit f une fonction définie sur une intervalle I

Fonction dérivée et formules pratiques

Plutôt que de calculer la limite du taux de variation à chaque fois (c'est long !), tu peux utiliser des formules de dérivation toutes prêtes. C'est beaucoup plus efficace !

Les dérivées de base à connaître par cœur

  • Une constante f′(x)=0f'(x) = 0
  • xx f′(x)=1f'(x) = 1
  • xnx^n f′(x)=nxn−1f'(x) = nx^{n-1}
  • 1x\frac{1}{x} f′(x)=−1x2f'(x) = -\frac{1}{x^2}
  • x\sqrt{x} f′(x)=12xf'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}

Les opérations sur les dérivées sont tes meilleures amies (u+v)′=u′+v′(u + v)' = u' + v' et (ku)′=ku′(ku)' = ku'. Avec ça, tu peux dériver n'importe quel polynôme !

Exemple concret f(x)=5x3+7x2−3x+2f(x) = 5x^3 + 7x^2 - 3x + 2 devient f′(x)=15x2+14x−3f'(x) = 15x^2 + 14x - 3. Tu appliques les formules terme par terme, c'est tout !

💡 **Bon à savoir ** Toutes les fonctions polynômes sont dérivables sur R\mathbb{R} - pas de piège à craindre avec elles !

Si on te demande...

Qu'est-ce que le compagnon IA de Knowunity ?

Notre compagnon IA est spécialement conçu pour répondre aux besoins des étudiants. Sur la base des millions d'éléments de contenu que nous avons sur la plateforme, nous pouvons fournir des réponses vraiment significatives et pertinentes aux étudiants. Mais il ne s'agit pas seulement de réponses, le compagnon a encore plus pour but de guider les élèves dans leurs défis d'apprentissage quotidiens, avec des plans d'étude personnalisés, des quiz ou des éléments de contenu dans le chat et une personnalisation à 100% basée sur les compétences et les développements de l'étudiant.

Où puis-je télécharger l'application Knowunity ?

Tu peux télécharger l'application dans Google Play Store et dans l'App Store d'Apple.

L'application est-elle vraiment gratuite ?

Oui, tu as un accès entièrement gratuit à tous les contenus de l'appli, tu peux chatter ou suivre les créateurs à tout moment. De plus, nous proposons Knowunity Premium, qui te permet de réviser sans limites!

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Les étudiants nous adorent — il ne manque plus que toi.

4.9/5

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4.8/5

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L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

Stefan S

utilisateur iOS

Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

Samantha Klich

utilisatrice Android

Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

Anna

utilisatrice iOS

Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

Thomas R

utilisateur d' Android

super application pour réviser je révise tout les soirs

Esteban M

utilisateur d'Android

Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

utilisateur d'Android

L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

utilisateur Android

Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

Greenlight Bonnie

utilisateur Android

PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰

Khady

utilisatrice d'Android

Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

utilisatrice iOS

C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

Raoul

utilisateur IOS

Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands

Ella

utilisatrice iOS

L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

Stefan S

utilisateur iOS

Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

Samantha Klich

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Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

Anna

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Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

Thomas R

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super application pour réviser je révise tout les soirs

Esteban M

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Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

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L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

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Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

Greenlight Bonnie

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PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰

Khady

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Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

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C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

Raoul

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Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands

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Nombre dérivé et tangente

Tu sais déjà intuitivement ce qu'est une dérivée ! Quand tu regardes la courbe d'une fonction, le nombre dérivé en un point te dit à quel point la courbe "monte" ou "descend" à cet endroit précis.

Le taux de variation entre deux points, c'est la formule Tf,x0(h)=f(x0+h)−f(x0)hT_{f,x_0}(h) = \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}. Pense à ça comme la pente entre deux points sur ta courbe. Quand ces deux points se rapprochent (h tend vers 0), tu obtiens le nombre dérivé f′(x0)f'(x_0).

Pour les fonctions affines f(x)=ax+bf(x) = ax + b, c'est super simple : la dérivée est toujours égale à aa, le coefficient directeur ! Logique, puisque la pente ne change jamais sur une droite.

La tangente à une courbe en un point, c'est la droite qui "colle" parfaitement à la courbe à cet endroit. Son équation : y=f′(x0)(x−x0)+f(x0)y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0).

💡 Astuce : La tangente, c'est comme si tu "zoomais" énormément sur un point de la courbe - elle finirait par ressembler à une droite !

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Fonction dérivée et formules pratiques

Plutôt que de calculer la limite du taux de variation à chaque fois (c'est long !), tu peux utiliser des formules de dérivation toutes prêtes. C'est beaucoup plus efficace !

Les dérivées de base à connaître par cœur :

  • Une constante : f′(x)=0f'(x) = 0
  • xx : f′(x)=1f'(x) = 1
  • xnx^n : f′(x)=nxn−1f'(x) = nx^{n-1}
  • 1x\frac{1}{x} : f′(x)=−1x2f'(x) = -\frac{1}{x^2}
  • x\sqrt{x} : f′(x)=12xf'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}

Les opérations sur les dérivées sont tes meilleures amies : (u+v)′=u′+v′(u + v)' = u' + v' et (ku)′=ku′(ku)' = ku'. Avec ça, tu peux dériver n'importe quel polynôme !

Exemple concret : f(x)=5x3+7x2−3x+2f(x) = 5x^3 + 7x^2 - 3x + 2 devient f′(x)=15x2+14x−3f'(x) = 15x^2 + 14x - 3. Tu appliques les formules terme par terme, c'est tout !

💡 Bon à savoir : Toutes les fonctions polynômes sont dérivables sur R\mathbb{R} - pas de piège à craindre avec elles !

Si on te demande...

Qu'est-ce que le compagnon IA de Knowunity ?

Notre compagnon IA est spécialement conçu pour répondre aux besoins des étudiants. Sur la base des millions d'éléments de contenu que nous avons sur la plateforme, nous pouvons fournir des réponses vraiment significatives et pertinentes aux étudiants. Mais il ne s'agit pas seulement de réponses, le compagnon a encore plus pour but de guider les élèves dans leurs défis d'apprentissage quotidiens, avec des plans d'étude personnalisés, des quiz ou des éléments de contenu dans le chat et une personnalisation à 100% basée sur les compétences et les développements de l'étudiant.

Où puis-je télécharger l'application Knowunity ?

Tu peux télécharger l'application dans Google Play Store et dans l'App Store d'Apple.

L'application est-elle vraiment gratuite ?

Oui, tu as un accès entièrement gratuit à tous les contenus de l'appli, tu peux chatter ou suivre les créateurs à tout moment. De plus, nous proposons Knowunity Premium, qui te permet de réviser sans limites!

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L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

Stefan S

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Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

Samantha Klich

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Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

Anna

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Thomas R

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Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

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L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

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Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

Greenlight Bonnie

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PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰

Khady

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Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

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C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

Raoul

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Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands

Ella

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L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

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Leny

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L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

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Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

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C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

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