Dérivation d'une fonction composée

Quand tu as une fonction à l'intérieur d'une autre fonction, pas de panique ! Il existe des règles précises pour calculer leur dérivée sans te prendre la tête.

Le cas de base avec une fonction affine : Si tu as $g(x) = F(ax+b)$, alors $g'(x) = a \times F'(ax+b)$. Tu multiplies simplement par le coefficient $a$ de la fonction affine. Cette fonction est toujours dérivable sur $\mathbb{R}$.

La règle générale te sauvera dans tous les autres cas : pour $g(x) = F(u(x))$, tu obtiens $g'(x) = F'(u(x)) \times u'(x)$. C'est la règle de la chaîne - tu dérives l'extérieur, puis tu multiplies par la dérivée de l'intérieur.

Les cas particuliers simplifient tes calculs. Pour $\sqrt{u}$, tu as $(\sqrt{u})' = \frac{1}{2\sqrt{u}} \times u'$. Pour les puissances $(u^m)' = mu^{m-1} \times u'$, et pour l'exponentielle $(e^u)' = e^u \times u'$.

💡 Astuce : Identifie toujours d'abord la fonction "extérieure" et la fonction "intérieure" avant de commencer à dériver !