Le taux d'accroissement

Définition et formule

Le taux d'accroissement mesure la variation moyenne d'une fonction entre deux points.

• Formule : $T(h) = \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ avec $h \neq 0$
• Rôle de $h$ : Représente l'écart de distance avec le point d'étude $a$
• Interprétation : C'est le coefficient directeur de la droite sécante

Vers le nombre dérivé

• Limite : Lorsque $h$ tend vers 0, la sécante devient la tangente $T_a$
• Nombre dérivé : Noté $f'(a)$, c'est la limite finie de ce taux quand $h \to 0$

💡 Astuce : Le taux d'accroissement dépend toujours de $h$, contrairement au nombre dérivé qui est un nombre réel fixe.

Calcul du nombre dérivé

Définition de la dérivabilité

Une fonction $f$ est dérivable en $a$ si la limite de son taux d'accroissement en $a$ est un nombre réel fini.

• Formule : $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

Exemple : Fonction affine

Calcul du nombre dérivé de $f(x) = -5x + 3$ en $x = 6$ :

• Étape 1 : $T_6(h) = \frac{-5(6+h)+3 - (-5 \times 6 + 3)}{h} = \frac{-5h}{h} = -5$
• Étape 2 : $\lim_{h \to 0} -5 = -5$, donc $f$ est dérivable en $6$ et $f'(6) = -5$

💡 Attention : Pour les fonctions affines, le taux d'accroissement est constant et égal au coefficient directeur de la droite.

Exemple de la fonction carré

Dérivabilité en un point

La pente de la courbe d'une fonction en un point précis se calcule grâce à la limite de son taux d'accroissement.

Exemple : Dérivée de $f(x) = x^2$ en $x = 3$ :

• Étape 1 : $T_3(h) = \frac{(3+h)^2 - 3^2}{h} = \frac{9+6h+h^2-9}{h} = 6+h$
• Étape 2 : $\lim_{h \to 0} (6+h) = 6$, donc $f'(3) = 6$

Signification géométrique

• Pente : Le coefficient directeur de la tangente à la courbe en $x = 3$ est égal à $6$

💡 Astuce : Simplifie toujours le numérateur pour éliminer $h$ avant de calculer la limite quand $h$ tend vers 0.

Image et nombre dérivé

Ne pas confondre $f(a)$ et $f'(a)$

Ces deux valeurs décrivent des aspects totalement différents d'une courbe en un point donné.

• Valeur $f(a)$ : L'ordonnée du point sur la courbe (la position)
• Dérivée $f'(a)$ : La pente de la tangente en ce point (la vitesse de variation)

La fonction dérivée

• Définition : Fonction qui associe à tout réel $x$ d'un intervalle son nombre dérivé $f'(x)$
• Notation : Notée $f'$, elle est globale sur un intervalle $I$

💡 Mémo : Pense à $f(x)$ comme la position d'un objet et à $f'(x)$ comme sa vitesse instantanée.

Dérivée de la fonction carré

Démonstration générale

Recherche de la formule générale de la dérivée de $f(x) = x^2$ sur $\mathbb{R}$.

• Taux d'accroissement : $T_a(h) = \frac{(a+h)^2 - a^2}{h} = 2a + h$
• Limite : $\lim_{h \to 0} (2a+h) = 2a$
• Formule globale : Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $f'(x) = 2x$

Exemple : Trouver la pente de $f(x) = x^2$ en $x = 8$.

• Calcul : $f'(8) = 2 \times 8 = 16$

💡 Astuce : Utiliser la fonction dérivée générale est beaucoup plus rapide que de recalculer la limite du taux d'accroissement à chaque fois.

Tableau des dérivées usuelles

Formules indispensables

💡 Attention : La fonction racine carrée est bien définie en $0$, mais elle n'est pas dérivable en $0$ car sa formule de dérivée diviserait par zéro.

Opérations sur les dérivées

Formules d'association

Pour dériver des fonctions complexes construites à partir de fonctions simples.

• Somme : $(u + v)' = u' + v'$
• Produit : $(u \times v)' = u'v + uv'$
• Quotient : $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$
• Par un réel : $(\lambda \times u)' = \lambda \times u'$

Dérivabilité des opérations

• Somme et produit : Dérivables sur l'intervalle commun de $u$ et $v$
• Quotient : Dérivable là où $v(x) \neq 0$ (exclure les valeurs interdites)

💡 Piège : La dérivée d'un produit $u \times v$ n'est pas $u' \times v'$, appliquez toujours la formule $u'v + uv'$.

Applications pratiques de calcul

Somme de fonctions

Dériver $f(x) = 5x^2 - 4x + 13$ sur $\mathbb{R}$ :

• Méthode : On dérive terme à terme
• Calcul : $f'(x) = 5(2x) - 4(1) + 0 = 10x - 4$

Quotient de fonctions

Dériver $h(x) = \frac{4x-5}{3x+4}$ sur $\mathbb{R} \setminus \{-\frac{4}{3}\}$ :

• Identification : $u = 4x-5 \to u'=4$ et $v = 3x+4 \to v'=3$
• Formule : $h'(x) = \frac{4(3x+4) - (4x-5) \times 3}{(3x+4)^2}$

💡 Astuce : Ne développez jamais le dénominateur $(v)^2$ dans un quotient, gardez-le sous forme de carré car il est toujours positif.

Exemples avancés de dérivation

Suite du quotient

Simplification de la dérivée de $h(x) = \frac{4x-5}{3x+4}$ calculée sur la page précédente :

• Calcul : $h'(x) = \frac{12x + 16 - 12x + 15}{(3x+4)^2} = \frac{31}{(3x+4)^2}$

Produit avec racine carrée

Dériver $g(x) = 3x\sqrt{x}$ sur $]0 ; +\infty[$ :

• Identification : $u = 3x \to u'=3$ et $v = \sqrt{x} \to v'=\frac{1}{2\sqrt{x}}$
• Résultat : $g'(x) = 3\sqrt{x} + \frac{3x}{2\sqrt{x}} = 4,5\sqrt{x}$

💡 Attention : Le domaine de dérivabilité de $g(x) = 3x\sqrt{x}$ exclut $0$, contrairement à son domaine de définition qui l'inclut.

La tangente géométrique

Définition géométrique

La tangente à la courbe $C_f$ au point d'abscisse $a$ est la droite la plus proche de la courbe en ce point.

• Point de contact : $A(a ; f(a))$
• Pente : Son coefficient directeur est égal au nombre dérivé $f'(a)$

Simplification de fonctions rationnelles

Avant de dériver, simplifier l'écriture peut vous éviter d'utiliser la formule complexe du quotient.

• Exemple : $g(x) = \frac{1}{x}(2x^2+3x-5) = 2x + 3 - \frac{5}{x}$
• Dérivée directe : $g'(x) = 2 + \frac{5}{x^2}$

💡 Astuce : Si la dérivée $f'(a)$ est positive, la tangente monte ; si elle est négative, la tangente descend.