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Maths77Mis à jour 30 sept. 20264 pages

Apprendre la Dérivation des Fonctions

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Léane@leanemls
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La dérivation est un outil super puissant en maths qui te permet d'analyser comment une fonction évolue et de trouver ses points d'extremum. Tu vas voir que c'est beaucoup plus simple que ça en a l'air !
Dérivation fonctions – page 1

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Les bases de la dérivation

Imagine que tu veux connaître la vitesse d'évolution d'une fonction à un point précis - c'est exactement ce que fait la dérivation ! Le taux d'accroissement entre deux points Aaa et Ma+ha+h se calcule avec la formule f(a+h)−f(a)h\frac{f(a+h) - f(a)}{h}.

Quand h se rapproche de zéro, on obtient le nombre dérivé f'aa, qui représente la pente de la tangente au point a. C'est comme si tu zoomais de plus en plus sur la courbe jusqu'à ce qu'elle ressemble à une droite !

L'équation de la tangente en un point devient alors super facile : y = f'a$$x-a + faa. Tu as aussi plusieurs règles de calcul pratiques : u+vu+v' = u' + v', (uv)' = u'v + uv', et pour les fonctions composées f(ax+b)f(ax+b)' = a×f'ax+bax+b.

Astuce : Retiens que la dérivée te donne la "vitesse" à laquelle ta fonction change !

Dérivation fonctions – page 2

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Fonctions dérivées classiques

Voici ton aide-mémoire des fonctions de base et leurs dérivées - c'est du par cœur mais ça vaut le coup ! Pour les fonctions linéaires (mx), la dérivée est simplement m. Les constantes ont une dérivée nulle (logique, elles ne bougent pas !).

Les puissances suivent la règle magique : xnx^n' = n×x^n−1n-1. Donc x² devient 2x, x³ devient 3x², etc. Cette règle marche même pour les puissances négatives !

Pour les fonctions plus spéciales : l'inverse 1/x a pour dérivée -1/x², et la racine carrée √x donne 1/(2√x). Ces formules te serviront constamment, alors mieux vaut les maîtriser rapidement.

Important : Fais attention aux domaines de définition - tu ne peux pas dériver √x en x=0 !

Dérivation fonctions – page 3

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Variations et extremums

C'est là que ça devient vraiment intéressant ! Le signe de la dérivée te dit tout sur les variations de ta fonction. Si f'xx ≥ 0, ta fonction est croissante. Si f'xx ≤ 0, elle est décroissante. Si f'xx = 0, elle reste constante.

Prenons l'exemple de fxx = 3x² - 5x + 1. Sa dérivée f'xx = 6x - 5 s'annule en x = 5/6. Avant ce point, f'xx < 0 donc f décroît. Après, f'xx > 0 donc f croît.

Le tableau de variations devient ton meilleur ami : tu places les valeurs où f'xx = 0, tu étudies le signe de f', et tu déduis les variations. Les extremums sont les points les plus hauts (maximum) ou les plus bas (minimum) de ta fonction sur un intervalle.

Méthode : Cherche toujours où f'xx = 0, c'est là que se cachent tes extremums !

Dérivation fonctions – page 4

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Extremums locaux et globaux

Maintenant tu dois faire la différence entre extremums locaux et globaux. Un extremum local, c'est comme être au sommet d'une colline dans une chaîne de montagnes. Un extremum global, c'est être au sommet de l'Everest !

La propriété fondamentale : si f a un extremum local en a (qui n'est pas au bord de l'intervalle), alors forcément f'aa = 0. Mais attention, l'inverse n'est pas toujours vrai !

L'exemple de fxx = x³ est parfait pour comprendre : f'xx = 3x² s'annule en x = 0, mais la dérivée ne change pas de signe (elle reste positive). Résultat : pas d'extremum en 0, juste un point d'inflexion.

Piège à éviter : f'aa = 0 ne garantit pas un extremum - vérifie toujours le changement de signe !

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